可測集合

質問

下の文章の[[[ ]]] の部分がわからないので教えてください。

COROLLARIE
Let X be a measurable space.
If f is a complex measurable function on X, there is a complex measurable function g on X such that |g|=1 and f=g|f|.

↓[[[ ]]]はこの下にあります。
PROOF
Let E={x: f(x)=0}, let Y be the complex plane with the origin removed, define h(z)=z/|z| for x∈Y, and put
g(x)=h(f(x)+χ(x)) (x∈X)
If x∈E, g(x)=1; if g(x)=f(x)/|f(x)|.
[[[ Since h is continuous and since E is measurable ]]],
the measurability of g follows from (c), (d), and Theorem1.7.
(χ:特性関数(定義関数))

１．「hが連続」というのは
|z-c|<δ⇒|h(z)-h(c)|<ε
のことだろうと思います。

２．「Eが可測集合」というのがどうしてなのかわかりません。

（可測集合は
If M is a σ-algebra in X, then X is called a measurable space, and the members of M are called the measurable sets in X
となっていたので、
Xの完全加法族（シグマ代数）の元となるものが可測集合ということだと思うのですが。）

よろしくお願いします。

回答No.2

yaksa

Xの位相の定義がわかりませんが、
X-{0} が開集合だということを認めれば、
（ハウスドルフ空間なら、成立する。）

fが可測関数だから、
f^(-1)(X-{0}) = {x: f(x)≠0} は可測。
E = {x: f(x)=0} = X - {x: f(x)≠0}
ですが、完全加法族の性質より、
可測な集合の補集合は可測なので、Eも可測。

回答No.1

yaksa

可測関数の定義はどうなっていますか？

たとえば、よくある定義
「f : X -> Y について、
fが可測関数であるとは、
Z⊂Yが可測ならば、Zの逆像f^-1(Z)がX上で可測であること」
という定義に従えば、
Ｅが可測であることは明らかですね。

補足

可測関数の定義は
If X is measurable space, Y is a topological space, and f is a mapping of X into Y, then f is said to be measurable provided that f^(-1)(V) is a measurable set in X for every open set V in Y.

可測空間Ｘから位相空間Ｙの写像で、
開集合Ｖ⊂Ｙについてf^(-1)(V)がＸの可測集合となる
ものを可測関数（写像）という。

となっていますが…。