偏微分

質問

V= e/4πε (1/√[{(x-a)^2} + y^2 + z^2])

で　e,π,εは定数
この時、

-∂V/∂x

はという問題で

e/4πε( (x-a) / (x-a)^2 + y^2 +z^2)^3/2

という答えになんでなるんですか。

(x-a)^2の部分だけに注目して微分するっていう感覚で3/2が肩にかかるのはわかるのですがどうして
x-aが分子に来るのかもわかりません。

この偏微分の手順を教えてください。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞[{(x-a)^2} + y^2 + z^2]=fとおくと
V=(e/4πε)(1/√f)=(e/4πε)f^(-1/2)
まずVをfで偏微分:∂V/∂f=(-1/2)(e/4πε)f^(-3/2)・・・(1)
(x-a)^2=gとおくとf=g+y^2+z^2、
fをgで偏微分して∂f/∂g=1・・・(2)
gをxで偏微分して∂g/∂x=2(x-a)・・・(3)
よって∂V/∂x=(∂V/∂f)*(∂f/∂g)*(∂g/∂x)
(1)(2)(3)を代入して
∂V/∂x=[(-1/2)(e/4πε)f^(-3/2)]*1*[2(x-a)]
=(e/4πε)(a-x)f^(-3/2)=(e/4πε)(a-x)/f^(3/2)
=(e/4πε)(a-x)/[{(x-a)^2} + y^2 + z^2]^(3/2)
よって
-∂V/∂x=(e/4πε)(a-x)/[{(x-a)^2} + y^2 + z^2]^(3/2)

お礼

それぞれの項ごとに偏微分の関係式を示してくださってありがとうございます。お陰様でほかの問題もおんなじようにとけました。

回答No.2

spring135

要するに

y=f(x)^(-3/2)

の微分です。

y'=(-3/2)f(x)^(-5/2)・f'(x)

f(x)=(x-a)^2+C

f'(x)=2(x-a)

になっています。

お礼

カッコで括られている掛け算の式の微分の法則から導けるんですね。ありがとうございます。