偏微分

質問

すみません。もうひとつ偏微分でわからない問題があるので、質問させてもらいます。

δ/δy * z/｛√（x^2+y^2+z^2）}^3

δ　　　　　　　z
―― * ――――――――――
δy　　{√(x^2+y^2+z^2)}^3

（カッコ）内の(x^2+y^2+z^2)はすべて√の中です。

自分で考えたのは・・・
δ/δy * z/｛√（x^2+y^2+z^2）}^3
= δ/δy {z*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)}
=(δz/∂y)*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)+z*[δ{(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)}/δy]

このあとがわかりません。
わかるかたいらっしゃったら、お願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

x,y,zが独立変数なら
∂/∂yの偏微分ではx,zを定数と見なしてyで微分するだけです。
(∂/∂y) z/｛√（x^2+y^2+z^2）}^3
=z(∂/∂y) （x^2+y^2+z^2)^(-3/2)
=z(-3/2) (2y)（x^2+y^2+z^2)^(-5/2)
=-3yz/（x^2+y^2+z^2)^(5/2)

z=f(x,y)の関係(zがx,yの従属変数）なら
∂z/∂yの項が残りz=f(x,y)の関数が与えられないとyの偏微分が求まりませんね。

補足

x,y,zは独立変数です。
そのため、最後の式の
=-3yz/（x^2+y^2+z^2)^(5/2)
になるのは、とてもよく分かりました。

「-3yz/（x^2+y^2+z^2)^(5/2)」と
「-3yz*（x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)^3」
の式は同じでしょうか？もし当たり前のような質問でしたらすみません。解説書には「-3yz*（x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)^3」になっていたので…

回答No.3

info22

#2です。
補足質問の回答
＞「-3yz/（x^2+y^2+z^2)^(5/2)」と
＞「-3yz*（x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)^3」
＞の式は同じでしょうか？
＞解説書には「-3yz*（x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)^3」になっていたので…

明らかに同じではなく、解説書の誤植（誤り）です。
（x^2+y^2+z^2)^(5/2)＝{(x^2+y^2+z^2)^2)*√（x^2+y^2+z^2)
ですから、
「-3yz/（x^2+y^2+z^2)^(5/2)」の分母を有理化するなら
「-3yz*{√（x^2+y^2+z^2)}/(x^2+y^2+z^2)^3」
が正解です。

お礼

そうですよね！　
解説書の間違いだと思います。
本当に分かりやすい解説ありがとうございます。

回答No.1

kaaaiii

zはyの関数ですか？
そうでないなら、∂z/∂y＝０となりますので、
最後の式の左側は消えますよね。
で、∂{(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)}/∂yは、(x^2+y^2+z^2)＝Aと置き、
∂{A^(-3/2)}/∂y
＝∂{A^(-3/2)}/∂A * (∂A/∂y)
として、解いてください。

お礼

関数ではありません。
みなさんのおかげで解けました。
回答ありがとうございます♪