電位の偏微分

質問

画像のようにφが定義されていて、極座標表示してあったrcosθをxに、rを√[x^2+y^2]に戻した式
φ　= px / {4πε_0(x^2+y^2)^(3/2)}
のx成分の偏微分 E_1
y成分の偏微分E_2
について、変数はxとyだけの場合、画像の結果になるのですが、
ここでE_1のアウトプットで －1/(x^2+y^2)^(3/2)が導かれているのはどうしてでしょうか。
手前の3x^2/…の方は合成関数の偏微分より求められるところまではよかったのですが－1/…のパートがどうして計算過程で導かれるのか恥ずかしながらわかりません。

公式と手順をお手数ですが詳しく教えてください。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

φ= px / {4πε_0(x^2+y^2)^(3/2)}=Ax(x^2+y^2)^(-3/2) ( A=p /4πε_0)

∂φ/∂x=A(x^2+y^2)^(-3/2)+Ax(-3/2)(x^2+y^2)^(-5/2)2x
=A(x^2+y^2)^(-3/2)-3Ax^2(x^2+y^2)^(-5/2)
=A(x^2+y^2-3x^2)(x^2+y^2)^(-5/2)
=A(x^2+y^2-3x^2)(x^2+y^2)^(-5/2)
=A(r^2-3r^2cos^2θ)/r^5
=-A(3cos^2θ-1)/r^3

要するにφはxと(x^2+y^2)^(-3/2)の積の関数です。その微分は
φ=xF,F=(x^2+y^2)^(-3/2)
φ'=F+xF'

お礼

積の微分法を見分けられないでいました。
しかもご説明の点でAと定数の括りをしていただいたおかげで大変計算の過程が鮮明に理解できました。

記号ばかりで入力も大変だったと存じます。

ご迷惑おかけしましたがお陰様でクリアカットできました。

今後ともご指導の程お願い申し上げます。