合同式の問題

質問

整数x,y,zがx^2+y^2=z^2を満たすとする
x,yのうち少なくとも一つは４の倍数であることを示せ。

合同式を使った解法をお願いします。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

x=8n+a、y=8m+b、z=8k+c　と置いて、mod16で考えたほうが簡潔になるのかな。

(8n+a)^2+(8m+b)^2=(8k+c)^2
a^2+b^2≡c^2 (mod 16)

0≦a,b,c≦7
0^2≡0、1^2≡1、2^2≡4、3^2≡9、4^2≡0、5^2≡9、6^2≡4、7^2≡1 (mod 16)

a^2、b^2のmod16の値の組み合わせは16通り
そのうち、
1+1≡2、1+4≡5、1+9≡10
4+1≡5、4+4≡8、4+9≡13
9+1≡10、9+4≡13、9+9≡2
の9通りは不適

残りはa=0,4またはb=0,4なので、xまたはyは4の倍数である。

回答No.1

nag0720

x=4n+a、y=4m+b、z=4k+c　と置くと、
(4n+a)^2+(4m+b)^2=(4k+c)^2
a^2+b^2≡c^2 (mod 8)

0≦a,b,c≦3
0^2≡0、1^2≡1、2^2≡4、3^2≡1 (mod 8)
より、
a^2、b^2、c^2 のmod8の値は0,1,4の３通りのみ。

よって、a^2、b^2の値の組み合わせ３×３＝９通りあるが、
そのうち、1+1≡2、1+4≡5、4+1≡5　は、c^2≡0,1,4なので不適。
4+4≡0　は、a=2、b=2、c=0だから、
(4n+2)^2+(4m+2)^2=(4k)^2
であるが、
(4n+2)^2+(4m+2)^2≡8 (mod 16)
(4k)^2≡0 (mod 16)
なので不適。

残りの５通り、
0+0≡0、0+1≡1、0+4≡4、1+0≡1、4+0≡4
はいずれの式もa=0またはb=0なので、xまたはyは4の倍数である。

補足

なぜmod8が・・・