問題集の解法ではさらりと流されているのですが...（整数問題）

質問

問題集の解法では「965-13yが25の倍数になるような正の整数yは5,30,55なので...」と記載されているのですが、自分には一言でいってしまうほど簡単なことには思えません。簡単にyを求める方法があればご教授ください。
なお、ここでいう「25の倍数」には負の数は含めません。

以下は自分の考えた方法です。
(1)985-13yは正でなければならないので、1≦y≦74
(2)13yの下一桁は0か5である必要があるので、yは5の倍数
(3)(1)、(2)を満たすパターンをすべてチェック

パターン数が多いと「本当にこの求め方で良いのか？」と考えてしまいます。

回答No.4

tresbien · ベストアンサー

確かに数え上げた方が早いですが、もう少しすっきりしたいのなら、次のようにしてはどうですか。
965-13y=25m　として
yが5の倍数である事が分かりましたから　y=5n と置きます。
193-13ｎ=5ｍ　とできますから
数字が小さくなると解り易くなりませんか。
左辺の数字を見て(一の位の数字に注目すると、つまり掛けたら一の位が3か8になれば良いのですから）
n=1,6,11 が答えだと分かります。
最後に5を掛ける事を忘れないでください。

お礼

回答ありがとうございます。
yを置き換えることで式がずいぶんすっきりしたように感じます。
今の自分にはこの方法が試験で利用できそうです。

回答No.3

hpsk

「965-13yが25の倍数」をみたすyは有限個しかないことが明らかなので、
「1,2,...,74 を全部ためしたら 5,30,55 だけでした」
と言い張れば、採点者は文句はいえないと思います。
なので説明なしに書いてしまって問題ないです。

似たような話で、
「200以下の自然数で3の倍数でも5の倍数でもない数はいくつあるか」というような問題の場合、
まじめに集合の話に持ち込んで説明をたらたら書くより、全部数え上げた「ことにする」ほうが早いかもしれません。
（もちろん、頭の中で求めるだけなら前者のほうが早いわけですが）

高校時代、似たような解答をしたことが何回かありますが、減点になるようなことはありませんでした。

お礼

回答ありがとうございます。
そうですね、へたにうまい方法(矛盾してる？)を考えだすより思いついた方法で計算するほうが早いかもしれないですね！

回答No.2

masa072

これでいいと思います。
この程度であれば数え上げたほうが早いでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
自身がつきました。

回答No.1

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13と25は互いに素（13と25の最大公約数が１）だから
たとえば、y=5が解だとわかれば、
その解に25を足したり引いたりしても
965-13yは25の倍数になるとすぐにわかりますよ。

y=5が解になるのはなぜかというのは、
頑張って求めるしかないですが。

お礼

なるほど！確かにそのようになります。
この方法が一番早いですね。
ただ、式が複雑になると「互いに素だから25足せば良い！」ということに対して自分は自信を持てなくなるかもしれません。
もう少し時間をかけて自分のものにしたいと思います。