modを使う整数問題

質問

以下の問題がわかりません(>_<)わかる方教えてください!

(xの三乗)＋(yの三乗)＝(zの三乗)が成り立つ。このときx,y,zの少なくとも１つは３の倍数であることを示せ。ただしx.y.zは0でない整数とする。

回答No.3

Tacosan

そりゃあ存在しないけど, これは Fermat の定理 (というか Euler の定理というか Wiles の定理というか) を知らないという前提の問題でしょうに＞#2.
本論は #1 でいいんだけど, 結局 mod を使ったのと同じ計算ですね. 「3で割った余り」と言っているにもかかわらず, 「9で割った余り」を考えないといけないのが注意点かな.

お礼

d-l_-bさん、ujitakaさん、Tacosanさん回答ありがとうございました。
よく理解できました！

回答No.2

ujitaka

フェルマーの定理により、質問の等式を満たすｘ、ｙ、ｚは存在しないのでは？

回答No.1

noname#56760

modを使うまでもありません。
整数全体を
3で割れる数、3で割ってあまりが１の数、3で割ってあまりが２の数の3つに分けて考えます。

3で割れる数を3kとおく　kは0以外の整数
(3k)^3＝27k^3=9(3k^3) 9で割ってあまり０

3で割ってあまりが１の数を3m+1
(3m+1)^3=27m^3+27m^2+9m+1=9(3m^3+3m^2+m)+1　9で割ってあまり１

3で割ってあまりが2の数を3n+2
(3n+2)^3=27n^3+54n^2+36n+8=9(3n^3+6n^2+4n+1)-1　9で割ってあまり－１

あとは左辺と右辺であまりが一致する組み合わせを出すだけです。