加速度が速度の一次関数で表される物体の運動

質問

質量mの物体の運動方程式が、その物体の速度をvとして
ma=Kv (Kは定数)
と表されるとき、
a=dv/dt, v=dx/dtを代入すると、
dv=(K/m)dxー(1)　という関係式がえられます。

この運動が等加速度運動だと仮定し、ある時刻における物体の速度をv1, 微小時間dt後の物体の速度をv2, 微小時間dt内に物体が動く距離をdxとおきます。
等加速度運動の公式より
(v1)^2-(v2)^2=2adx
運動方程式にv=(v1+v2)/2を代入して
v1+v2=2ma/K
また、dv=v2-v1より
(v2)^2-(v1)^2
=(v2-v1)(v2+v1)
=2madv/K=2adx
∴ dv=(K/m)dx

この結果が意味するのは「運動方程式が ma=Kvで表される物体の運動は等加速度運動である」ということなのでしょうか?

回答No.3

alchool · ベストアンサー

(1)
ma=Kvにa=dv/dt, v=dx/dtを代入して
mdv/dt=Kdx/dtの両辺にdtをかけて
mdv=Kdx
∴ dv=(K/m)dx

(2)
この運動が等加速度運動だと仮定し、ある時刻における物体の速度をv1, 微小時間dt後の物体の速度をv2, 微小時間dt内に物体が動く距離をdxとおきます。
等加速度運動の公式より
(v1)^2-(v2)^2=2adx
運動方程式にv=(v1+v2)/2を代入して
v1+v2=2ma/K
また、dv=v2-v1より
(v2)^2-(v1)^2
=(v2-v1)(v2+v1)
=2madv/K=2adx
∴ dv=(K/m)dx

（1）は微積の正当な手法

対して(2)では「この運動が等加速度運動である」という明らかに誤った前提を盛り込んでいるにもかかわらず
結果が(1)と矛盾しない。
矛盾しないのだから「この運動が等加速度運動である」という仮定は否定されない。

そういうことかな？

でも結局のところ微小時間dtの間だけ「等加速度運動と見なせる」と言ってるだけで
運動全体が等加速度である必要性が無いでしょ。
仮に微小時間dtの間だけ「等速直線運動」と置いたって微分方程式は成立するわけだし。

対局的なtに対して、a(t)=aだと言っているのではなくて
極限に小さな区間t1~t2の間に対して、a((t1+t2)/2)=aであると言っているわけで。

いつも思うが、ここの回答者は読解力が足りない。
No.2はまだしもNo.1とかホント論外
等加速度運動なわけがなかろうが。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

hitokotonusi

速度と加速度の関係は

v(t) = v(0) + ∫a(t) dt

なので、加速度が0でなければ速度は時間変化します。すると、

＞ma=Kv (Kは定数)

の式より加速度も時間変化することになるので【等加速度運動ではありません】。

a=dv/dtであることがわかっているなら、この運動方程式は

m dv/dt = K v
dv/v = (K/m) dt
ln v = (K/m) t + const.
v(t) = C exp[(K/m)t]

と簡単に解けます。加速度はこれを微分して

a(t) = C(K/m) exp[(K/m)t]

v=dx/dtなのでもう一度積分すればx(t)も求まります。

回答No.1

Tacosan

「等加速度運動」という仮定と「等加速度運動」という結論は矛盾しませんが, だからなんだというのでしょうか?