振動する台上における相対運動

質問

水平の台の上に物体が乗っています。
台と物体の間には摩擦が働き、
摩擦係数は物体の速度(v1とします）に比例しμ = kv1と表せます。
ここで、台が変位H(t)、物体がh(t)の変位で運動したとします。
この運動を台上から観測したとすると、
物体の相対的な変位はh(t)-H(t)となりますよね。
これを新たにS(t)とします。またこれからは、慣性系に対する物体の速度をV(t)、加速度をA(t)とした場合
V(t) = dS(t)/dt = dh(t)/dt + dH(t)/dt -----------(1)
A(t) = d^2S(t)/dt^2 = d^2h(t)/dt^2 + d^2H/dt^2　-----------(2)
となると思います。
で、h(t) = H(ω)exp(iωt) ----------(3)
H(t) = Lexp(iωt)　　----------(4)
が与えられているとき、
H(ω)を求めよって問題なんですが、これがいまいち分かりません
（前置きが長くてすみません）
摩擦力は速度に比例するので、
f = mgkv1 = mgk×dS(t)/dt　----------(5)
となりますよね。これを運動方程式に代入した場合、
ma=f ですので、　m×d^2S(t)/dt^2 = mgk×dS(t)/dt
この式を、変数分離して物体の相対速度が求まりました。
また(3)、(4)を(1)に代入しても相対速度が求まります。
これを連立させると、H(ω)が求まったのですが、虚数が出てきてしまいました。あっているのかも分かりませんが、どんな運動をするのか、どなたかわかる方教えてください。
あと今までの過程に正直自信がありません。間違っていたらそこも指摘していただけると幸いです。よろしくお願いいたします。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

>摩擦係数は物体の速度(v1とします）に比例しμ = kv1と表せます。

摩擦係数というなら通常v1は，すべり速度（相対速度dh/dt）であるのが現実に近そうですが，絶対速度でよいのでしょうか？

>H(ω)が求まったのですが、虚数が出てきてしまいました。

虚数になること自体は問題ないと思います。振動因子exp(iωt)自体が虚数ですから，現実の変位は両者の積から実数部をとればよく，H(ω)が虚数になることで台の振動からの位相のずれが表現できることになるのではないでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます。

>摩擦係数というなら通常v1は，すべり速度（相対速度dh/dt）であるのが現実に近そうですが，絶対速度でよいのでしょうか？

そうですね、すべり速度だと思います。ですから、初めからdh/dtで良かったのですね。

>虚数になること自体は問題ないと思います。振動因子exp(iωt)自体が虚数ですから，現実の変位は両者の積から実数部をとればよく，H(ω)が虚数になることで台の振動からの位相のずれが表現できることになるのではないでしょうか？

虚数部は位相のずれを表していたのですね。知りませんでした
もう一度、この分野について勉強しなおしてみようと思います。
ありがとうございました！

回答No.1

yokkun831

>慣性系に対する物体の速度をV(t)、加速度をA(t)とした場合
V(t) = dS(t)/dt = dh(t)/dt + dH(t)/dt -----------(1)
A(t) = d^2S(t)/dt^2 = d^2h(t)/dt^2 + d^2H/dt^2　-----------(2)

H(t)，h(t)は慣性系に対する変位ではなかったのですか？
だとすると，相対変位S(t)は慣性系に対するではなく台（加速系）に対するものですよね？ で，上でS=h-Hとして，どうしていきなりS=h+Hになったのでしょう？　このhとHの扱いがぐちゃぐちゃになっています。

もともと与えられた問題と，あなたの考察とを分けて書いていないので，理解できない展開になっちゃってます。

お礼

ご回答ありがとうございました。
>H(t)，h(t)は慣性系に対する変位ではなかったのですか？
失礼しました。仰るとおりで、台に対する運動でした。
慣性系では、
台に働く力は、速度に比例する摩擦力のみなので加速度を
h(t)で二階微分したものh''(t)、力は垂直抗力mgに摩擦係数であるh'(t)をかけたものでよかったでしょうか
mh''(t) = -mgh'(t)　

>H(t)，h(t)は慣性系に対する変位ではなかったのですか？
これも、おっしゃっる通りです。ただ単に間違えてしまいました。

与えられた問題は整理しますと、
摩擦係数 μ
物体の変位：h(t) = H(ω)exp(iωt)
台の変位　：H(t) = Lexp(iωt)　
が与えられた時、H(ω)を求め、
ωが極端に大きくなった場合と極端に大きくなった場合の物体の動きを
求めよという感じです。

補足

すみません、２つ目の

>H(t)，h(t)は慣性系に対する変位ではなかったのですか？
これも、おっしゃっる通りです。ただ単に間違えてしまいました。

は、
>上でS=h-Hとして，どうしていきなりS=h+Hになったのでしょう？

に対する回答です。