自由落下について

質問

地球上での自由落下についての質問です。
粘性抵抗力が関わるときの運動方程式の解き方が分かりません。
運動方程式は次の式です。
ma=mg-kv
この後の微分方程式の解き方が分かりません。
∫{1/(mg - kv^2)}dv = ∫(1/m)dt
どなたか教えていただけませんか？

回答No.3

pascal3141 · ベストアンサー

お昼にこの質問をみて、いったん削除されたのですが、再度質問なので、詳しく説明します。
aは加速度なので、a=dv/dtよって,mdv/dt=mg-kvよって、(1/m)dt={1/(mg-kv)}dv積分すると∫{1/(mg - kv)}dv = ∫(1/m)dtとなって、聞かれている∫{1/(mg - kv^2)}dv = ∫(1/m)dtにはなりませんが？？？
もし、∫{1/(mg - kv)}dv = ∫(1/m)dtをとくのでしたら、（右辺）=t/m+A（Ａは任意定数）（左辺）=-(1/k)log(mg-kv)なので、mg-kv=Bexp(-kt/m)(Bは任意定数）
v=(mg/k)-Cexp(-kt/m)(Cは任意定数）これは、時間tが増えると、第２項が消えて、速さが一定のv=mg/kに近づくことをあらわしています。

お礼

詳しく説明していただきありがとうございます。∫{1/(mg - kv^2)}dv = ∫(1/m)dtではなく∫{1/(mg - kv)}dv = ∫(1/m)dtの誤りでした。この式でうまく解くことが出来ました。ありがとうございました。

回答No.4

tom1102

No.2です。
さっきの表現はおかしかったので訂正します。
微分方程式＝運動方程式はあってましたね。「積分の形に変形した式が間違っています。」とすべきでした。

蛇足ですが…
微分方程式に慣れてくれば、形を見てこの場合の一般解は指数関数だと分かるので、No.1の方のようにx=exp(rt)とおいてしまうのが手っ取り早いです。
ただ、yutatayu1さんはまだ微分方程式に慣れていないような印象を受けたので（違ってたらすいません。）、No.3の方の解説に沿って一度きちんと自分で解いてみることをお勧めします。

お礼

皆さんの解説のおかげで解くことが出来ました。ありがとうございました。

回答No.2

tom1102

微分方程式が間違ってますよ。
∫{1/(mg - kv^2)}dv = ∫(1/m)dtではなくて、
∫{1/(mg - kv)}dv = ∫(1/m)dtじゃないですか？
これなら単純に積分できるはずです。

お礼

変形した微分方程式が間違ってました。ご指摘の通りです。

回答No.1

propon2334

両辺をmgで割って常微分方程式にします。
(k/mg)v+(1/g)a=0
次にx=exp(rt)とおくと
(k/mg)r+(1/g)r^2=0
r=0,-k/m
これにより
x=A+Bexp(-kt/m)+c cは積分定数
となるので、与式に代入して初期条件を与えれば解が求まります。

お礼

解くことが出来ました、ありがとうございます。