原点Ｏを中心とする半径1の円周上

質問

に4点A、B、C、Dがあり、OC↑=-OA↑とAB=1を満たしている
線分ABをt:1-t(0＜t＜1)に内分する点をPとして、線分CPと線分OBの交点をQとする
(1)OQ↑をtとOB↑を用いて表せ
(2)OA↑+√3(OQ↑+OD↑)=0↑が成り立つとき、tの値と四角形ABCDの面積を求めよ

解法を教えてください！

回答No.2

yyssaa

(1)OQ↑をtとOB↑を用いて表せ
＞△ABCにメネラウスの定理を適用すると(BP/PA)*(AC/CO)*(OQ/QB)=1
だから(OQ/QB)=(PA/BP)*(CO/AC)={t/(1-t)}*(1/2)=t/(2-2t)、
OQ/OB=OQ/(OQ+QB)=1/(1+QB/OQ)=1/{1+(2-2t)/t}=t/(2-t)、
よって、OQ↑={t/(2-t)}OB↑・・・答
(2)OA↑+√3(OQ↑+OD↑)=0↑が成り立つとき、tの値と四角形ABCDの面積を求めよ
＞OC↑=-OA↑だからOQ↑+OD↑=(1/√3)OC↑、↑OD=↑QRとすると
OQ↑+↑QR=(1/√3)OC↑から点Rは線分OC上の点となり、△OQRは
QR=OD=1、OR=1/√3、OQ=t/(2-t)、∠QOR=2π/3の三角形(△OABは
正三角形)となるので、余弦定理QR^2=OQ^2+OR^2-2OQ*ORcos2π/3
より、1=OQ^2+1/3+OQ(1/√3)、
OQ=t/(2-t)を代入して整理すると、(1-√3)t^2+(8+2√3)t-8=0
有理化してt^2-(7+5√3)t+4(1+√3)=0、これを解いて
t=[(7+5√3)±√{(7+5√3)^2-4*4(1+√3)}]/2
={(7+5√3)±√(108+54√3)}/2={(7+5√3)±(9+3√3)}/2
0＜t＜1だからt=-1+√3・・・答
四角形ABCDの面積=△ABCの面積+△ACDの面積
△ABCの面積=(1/2)AB*ACsinπ/3=(1/2)*1*2*(√3)/2=(√3)/2
点Dから線分ACに下ろした垂線の長さは点Qから線分ACに下ろした
垂線の長さに等しく、{t/(2-t)}sinπ/3={t/(2-t)}*(√3)/2
={(-1+√3)/(3-√3)}*(√3)/2=1/2
よって、△ACDの面積=(1/2)*2*(1/2)=1/2
よって、四角形ABCDの面積=(√3)/2+1/2=(1+√3)/2・・・答

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.1

USB99

計算違い? 問題の記載ミス?
Qが線分0BをK:1―Kに分けるとするとメネラウスの定理より
1/2・(1ーK)/K・t/(1―t)= 1
k =t/(2-t) ∴OQ=t/(t―2)OB

OA=a、OB=bとすると
a+√3OQ=ー√3 OD OQ=kbとして√3/3a+ kb=-OD
内積をとると
a^2/3+k^2b^2+2√3/3a・b= 1
a^2=1、b^2=1、a・b= 1・1・cos3/兀=√3/2より
1/3十K^2+ k = 1
3k^2+3 k―2 =0 あれっ解けない。
やり方はいいと思うけど

お礼

回答ありがとうございました！