三角比の問題

質問

A=60度、B=45度、C=75度の三角形において、
三角形の面積が2√3-2のとき、aの値を求めよ、という問題なのですが、どのように解けば良いでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.5

staratras · ベストアンサー

No.2です。訂正があります。

誤　a≒1.9268666…くらいです。

正　a≒1.926866０…くらいです。

計算誤差ではなく、関数つき電卓の数字の見間違いでした。失礼しました。

なお、Nｏ.３の方のａの値と表記は異なりますが、2乗して１６√3-24となる同じ数です。

お礼

ありがとうございます、わかりました。

回答No.4

gohtraw

＃１です。面積のところ、確かに１／２が抜けてましたね。
失礼しました。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.3

info22_

No.1さんのやり方をすれば
正弦定理より
b=asinB/sinA
c=asinC/sinA

sinB=sin45°=1/√2,
sinA=sin60°=√3/2
sinC=sin75°=sin(45°+30°)
　=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√3+1)√2/4

S=(1/2)bcsinA=(a^2/2)sinBsinC/sinA
=(a^2/2)(1/√2)((√3+1)√2/4)/(√3/2)
=((√3+1)/(4√3))a^2

S=2√3-2より

((√3+1)/(4√3))a^2=2√3-2
　a^2=8√3(√3-1)/(√3+1)=4√3(√3-1)^2
∴ a=2(√3-1)3^(1/4)　(←3^(1/4)は3の４乗根です）
=1.92686608800…

#　No.2さんの計算の数値と小数7位からが異なりますね。計算誤差と思いますが…。

お礼

ありがとうございます、よくわかりました。

回答No.2

staratras

図を描いてみれば明らかですが、内角が６０度、45度、７５度の三角形は3辺の比がそれぞれ２：１：√３と1:1:√２の三角定規をくっつけた形です。

aを角Aの対辺の長さだとし、三角形ABCの頂点Cから辺ABに下ろした垂線をCDとすると、BD=CD=a/√２、AD=BD・（１/√3)=a/√6です。
三角形ABCの面積は、（1/２)AB・CD=1/2・((1/√6）+(1/√2))a・a/√２=(3+√３）a^2/12
これが2√3-2 だから　(3+√３）a^2/12=２√3-2
したがって　a^2=(２√3-2)・１２/(3+√３）=16√3-24
平方根をとって　a=2√（4√3-6）
上の式は二重根号が残りますが、a≒1.9268666…くらいです。

回答No.1

gohtraw

ａというのが何なのか判りませんが、多分どこかの辺の長さなのでしょうね。
正弦定理より、三辺の長さの比が判ります。
ａ／ｓｉｎＡ＝ｂ／ｓｉｎＢ＝ｃ／ｓｉｎＣ
よって
ｂ＝ａ・ｓｉｎＢ／ｓｉｎＡ
ｃ＝ａ・ｓｉｎＣ／ｓｉｎＡ

また、三角形ＡＢＣの面積は
ｂｃ・ｓｉｎＡで与えられてその値が２√３－２なので、
ａ＾２・ｓｉｎＢｓｉｎＣ／ｓｉｎＡ＝２√３－２
これに三つの内角の正弦（サイン）の値を代入し、ａについて解けば辺の長さが判ります。

補足

回答ありがとうございます。
面積公式は、1/2がついてなかったでしたっけ。
おっしゃるようにやってみたんですが、a^2の値が複雑になって最後まで計算できませんでした。