対数方程式

質問

(1)log[2](x^2-x-18)-log[2](x-1)=3

(2)log[3]x-log[x]81=3

(3)log[4](x+2)+log[1/2]x=0

[]内の数は底を表しています。

よろしくお願いします

回答No.4

asuncion

おっと失礼。

設問3
log[2](x + 2)/log[2]4 + log[2]x/log[2](1/2) = 0
log[2](x + 2)/2 - log[2]x = 0
log[2](x + 2) - 2log[2]x = 0
log[2](x + 2) - log[2]x^2 = 0
log[2]{(x + 2)/x^2} = 0 = log[2]1
(x + 2)/x^2 = 1
x^2 = x + 2
x^2 - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
真数の条件よりx = -1は不適
∴x = 2

回答No.3

gohtraw

そうだ、忘れてた。対数の定義上、真数や底が取りえない値があるので、
そうなっていないかどうか、ｘの値を吟味する必要があります。

回答No.2

asuncion

設問1
log[2]{(x^2 - x - 18)/(x - 1)} = 3 = log[2]8
(x^2 - x - 18)/(x - 1) = 8
x^2 - x - 18 = 8(x - 1)
x^2 - 9x - 10 = 0
(x + 1)(x - 10) = 0
真数の条件より、x = -1は不適
∴x = 10

設問2
log[3]x - log[3]81/log[3]x = 3
log[3]x - 4/log[3]x = 3
(log[3]x)^2 - 3log[3]x - 4 = 0
(log[3]x + 1)(log[3]x - 4) = 0
log[3]x = -1, 4
∴x = 1/3, 81

設問3
log[2](x + 2)/log[2]4 + log[2]x/log[2](1/2) = 0
log[2](x + 2)/2 - log[2]x = 0 = log[2]1
(x + 2)/(2x) = 1
2x = x + 2
∴x = 2
真数の条件を満たしているので、解としてよい。

回答No.1

gohtraw

（１）
与式より
ｌｏｇ［２］（（ｘ＾２－ｘ－１８）／（ｘ－１））＝３
（ｘ＾２－ｘ－１８）／（ｘ－１）＝２＾３＝８
ｘ＾２－ｘ－１８＝８ｘ－８
あとはｘの二次方程式です。

（２）
ｌｏｇ［３］ｘ＝１／ｌｏｇ［ｘ］３、ｌｏｇ［ｘ］８１＝４ｌｏｇ［ｘ］３　なので、与式は
１／ｌｏｇ［ｘ］３－４ｌｏｇ［ｘ］３＝３
ｌｏｇ［ｘ］３＝ｚとおくと
１／ｚ－４ｚ＝３
両辺をｚ倍して
１－４ｚ＾２＝３ｚ
４ｚ＾２＋３ｚ－１＝０
（４ｚ－１）（ｚ＋１）＝０
ｚ＝－１、１／４
ｘ＝１／３、８１

（３）
ｌｏｇ［４］（ｘ＋２）＝（ｌｏｇ［２］（ｘ＋２））／２、ｌｏｇ［１／２］ｘ＝－ｌｏｇ［２］ｘ　なので、与式は
（ｌｏｇ［２］（ｘ＋２））／２ーｌｏｇ［２］ｘ＝０
ｌｏｇ［２］（ｘ＋２）＝２ｌｏｇ［２］ｘ＝ｌｏｇ［２］（ｘ＾２）
ｘ＋２＝ｘ＾２
あとはｘの二次方程式です。