対数関数

質問

log4(x+1)+log1/2(x)=1を解け。

1+log4(x+1)≧log2(2-x)を解け。

１問目は、底の変換をしてみたのですが、底を２にするのか、４にするのかで迷っています。底の変換をした後の計算も、分数が出てきてしまって、いまいちわからないので途中計算から教えていただけると嬉しいです。もしかして、やり方間違ってますかね？
２問目は、底を変換して、整理してみたのですが、答えがとんでもない数になってしまったので、やり方だけでも教えていただけると嬉しいです。お願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

1つ目だけど, 底は 4 にした方が簡単だと思います.
で log_4 (x+1) - 2log_4 x = 1 から log_4 [(x+1)/x^2] = 1 なので log を外すと (x+1)/x^2 = 4. 分母を払えば 2次方程式です.
x > 0 でないとまずいことにも注意.

お礼

解けました(・∀・)
ありがとうございました。

回答No.4

info22

(1),(2)とも対数の底は4に統一してlogを合体し真数同士の等号または不等号の式にすればいいです。

(1)真数条件から, x>0
このもとで式を整理し真数同士を等しいとすればいいです。
xの2次方程式となりますので真数条件を満たす正の解を答えとします。
4x^2-x-1=0→x=(1/8)(1+√17)>0

(2)真数条件から, -1<x<2
このもとで式を整理し真数同士を比較して不等式とすればいいです。
対数の底を4とすれば対数の不等号の向きが真数の不等号の向きと同じになります。
4(x+1)≧(2-x)^2
x^2-8x=x(x-8)≧0
真数条件-1<x<2からx-8<0となるから
解は-1<x≦0
となります。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

底はどちらでも構いませんが、数字が出来るだけ小さいほうがいいでしょう。

底を2にしてみます。【　】は底を表すとします。
log4はlog【2】(4)＝log【2】(2＾2)＝2.
又、log(1/2)はlog【2】(1/2)＝-1.
したがって、log【2】(x+1)/2　+　log【2】(x)/(-1)＝1。
logをはずすと、x+1＝4x＾2を解く事になります。
ただし、真数条件から、x+1＞0、x＞0ですから、結果としてx＞0である必要があります。

お礼

回答ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.1

pocopeco

2問目は、
対数の中身は、正の数でなければならない。
つまり、ｘは2以下の数として計算します。

お礼

回答ありがとうございました。