対数方程式

質問

log9 X = X^2 - 2 の解き方を教えてください。　log　の底は9です。

回答No.8

いろは にほへと（@dormitory）

結局慣れしかないのですが、とにかく対数の性質と底の変換公式で底を一つに揃えてから、対数関数の性質に従うまでですね。

回答No.7

178-tall

Newton の逐次法なら？
　f(x) =9^(x^2 - 2) - x
の零点 xo 探し。

　f'(x) = 2x*LN(9)*9^(x^2 - 2) - 1
当然ながら x = 0.1235 に収束。
もう一つ、x = 1.4754 。

面倒がり、目隠し航法なもんで…。

回答No.6

178-tall

またまた訂正。蒙御免。

やり直し。
　x = 9^(x^2 - 2)
が本題でした。

回答No.5

178-tall

問題を誤りました。

やり直し。
　x = 9^(x^2 - 2) = 0
が本題でした。

てっとり速い「不動点収束法」から。
まず、xo = 0.1235 に収束。

回答No.4

178-tall

一部脱字あり、訂正。

　y = 9^(√|y|) + 2　　　…(*)
　　&
　y = 9^(-√|y|) + 2　　…(**)

回答No.3

178-tall

スプレッドシート上で「不動点収束」の可否をテスト。

x^2 = y として、x = √y と x = -√y の 2 ケースに分けます。

　y = 9^|y| + 2　　　…(*)
　　&
　y = 9^(-√|y|) + 2　　…(**)

(*) は、発散、(*) は y = 2.043, x = -1.429 へ収束、でした。

回答No.2

178-tall

9^x = e^(x*LN(9)) = x^2 - 2
なので、
　f(x) = e^(x*LN(9)) - x^2 + 2
の零点 xo 探し。

Newton の逐次法が無難です。
　f'(x) = LN(9)*e^(x*LN(9)) - 2x
を使う。収束は速い。

xo = -1.4294 でした。(これだけかな？)

回答No.1

ta20000005

logを自然対数として
log(x)/log(9)=x^2-2
log(x)=log(9^(x^2-2))
x=e^(2(x^2-2)log(3))
x^2=e^(4(x^2-2)log(3))
(x^2)e^(-(4x^2)log(3))=e^(-8log(3))=3^-8=1/6561
(-4log(3)x^2)e^(-4log(3)x^2)=-4log(3)/6561
より
W_n(-4log(3)/6561)=-4log(3)x^2
xは真数条件より正なので、
x=√(-W_n(-4log(3)/6561)/4log(3))
実数になるのはn=0,1の分岐で、
n=0の時x≒0.0123498...
n=1の時x≒1.47548...

W_n(x)はproductlog関数で、y=W_n(x)⇔x=ye^yとなる関数です。