逐次積分の計算例１ ｘ2＋ｙ2≦１ を領域 Ｄ

質問

確認のための質問です。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/integral/integral3.htm
の
逐次積分の計算例１

　　円の内部及び周　ｘ2＋ｙ2≦１　を領域 Ｄ とするとき、
　　　　　：
　　値が ０ になることは、グラフからも推察される。

・・・と書かれているんですが、これは
「『X-Y平面上に描かれるはずだった円』と『あのぐにょーっとした水色の面』が接しているのが原点だけなので面積はゼロ」
という意味で合っていますか？
もしかしてX-Y平面上じゃなかったり円じゃなかったりするんですか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>…という意味で合っていますか？
合っていません。

>もしかしてX-Y平面上じゃなかったり円じゃなかったりするんです
そうです。

3次元空間での積分ですから、3次元曲面z=xyを領域Dを断面とする円筒：x^2+y^2≦1で切り取った3次元立体領域|z|≦|xy|(x^2+y^2≦1)の積分です。
曲面z=xyを円筒で切り取った曲面のz座標は正・負の値を取ります。3次元立体領域|z|≦|xy|(x^2+y^2≦1)は、x軸対称かつ
y軸対称なので、領域Dでのx方向の積分もy方向のどちらに積分してもゼロになります。
簡単にいえば、積分変数について、積分区間が対称で被積分関数xyが積分変数x,yのいずれに対しても奇関数になってるから、積分が正領域と負領域で打ち消しあってゼロになるということです。

お礼

領域Dを断面とする円筒の中に3次元曲面z=xy『あのぐにょーっとした水色の面』があるイメージですね。
そしてx軸もy軸も対称なので正と負が打ち消しあってゼロになるんですね。
ありがとうございました。