重積分の積分領域について

質問

積分領域の決め方がよくわかりません。
問題文で
f(x,y)=x+y
D＝{(x,y)l y-x≧0,2x+y≧0,x+y≦1}が与えらています。
これを計算するときに積分領域が
D = {(x, y)| -1≦x≦0,-2x≦y≦1-x}∪{(x,y)l 0≦x≦1/2,x≦y≦1-x}
となるんですが、どっから-1≦x≦0、-2x≦y≦1-x、0≦x≦1/2、x≦y≦1-xなどの値がでてきたのかもよくわかりませんし、領域同士の和集合になってるのがよく理由がわかりませんでした。

http://webmath.ecip.osakac.ac.jp/webMathematica/MandaiLab/Mandai/2dintegral.jsp

でも調べてるうちに見つけたこのサイトに領域をうちこんだ結果できる図形（三角形）の内部、つまりy-x≧0,2x+y≧0,x+y≦1を満たす領域が積分領域だということなんだなと思い、この図形を見ればいいんだなと思いました。
そしたらｘについての範囲、-1≦x≦0と0≦x≦1/2については理解できたとおもうんですが、ｙについての範囲がわかりません。
0≦y≦2、0≦y≦1となるんじゃないのか？と思いましたが実際は、-2x≦y≦1とx≦y≦1-xみたいですし・・・。
どうしてｙはこんな領域になるんでしょうか？

回答No.1

ngtk · ベストアンサー

うまくリンク貼れてないみたいですよ。

あとなぜ0≦y≦2、0≦y≦1にならないか、ですが、
実際はこの範囲になるのですが、ｙはｘによって変化します。
そしてこの後重積分するにはこの要素は不可欠です。そのためにｙをｘで対応させて表記します。
そのときに図で考えると、領域Ｄは三角形ですが、
ｘ軸に対して、半分で分けて考えます。
このとき左側は-1≦x≦0なわけですが、ｙについて考えるとｙ＝-2ｘより上でｙ＝1+ｘより下なので、これを式で表すと、-2x≦y≦1+ｘとなるわけです。同様に右側も考えられます。

図を用いて説明しないとわかりにくいかも知れません。すいません。

お礼

ご解答ありがとうございます！！
なるほど！！納得できました！！
すっきりしました・・・。
本当にありがとうございました！！