順列、4桁の整数をつくる問題

質問

1,2,3,4,5,6,7,8,9の9個の数字の中から重複を許して4個を選んで4桁の整数を作り、千、百、十、一の位をそれぞれa,b,c,dとする。次の条件を満たす整数はそれぞれ何個有るか。
a≦b≦c≦d

解答
1≦a≦b≦c≦d≦9　⇔　1≦a＜b+1＜c+2＜d+3≦12
より、12C4　=　495

とあるのですが、
1≦a≦b≦c≦d≦9　⇔　1≦a＜b+1＜c+2＜d+3≦12
の部分は何をしているのですか。
よろしくお願い致します。

回答No.3

hotonoa · ベストアンサー

同じ数字を使って良い、というのがポイントですね。
そのせいで≦になってますが、
「同じ数字を使ってはいけない」ならば<になっているはずです。
で、それならここまで悩まないはず。

だったら、不等号の「=」を消すためにはどうしたらいいでしょう？
a≦bを分解すると、「a=bまたはa<b」ですね。
今回の問題にあてはめると（同じ数字を使って良いので）、
「a<bの他にa=bというもう１つのパターンがある」となります。
言い方を変えれば、１つ増えれば≦でなく＜で書けるということ。
なのでa≦b⇔a<b+1となります。
bだけ増やすとcやdがおかしなことになるので一旦、
1≦a＜b+1≦c+1≦d+1≦10
とすべて+1します。
同じことをcやdに行えば、解答にある形になります。

1～9の9種類に、「前の数字と同じ」という3つの特殊パターン（aとb、bとc、cとdが同じ数字）
を足して12種類から組み合わせるということですね。

蛇足ですが、最終的に12C4で答えがでること自体は納得できてるんですか？

お礼

大変分かりやすくありがとうございます！
a＜b＜c＜dの問題は理解できております。
ありがとうございました。

回答No.2

j-mayol

仮に問題の条件が以下の場合だったらどうなるか考えて見ましょう。

1≦a＜b＜c＜d≦9

補足

9の数字から4つ選び、小さい方からa、b、c、dにします。
この問題の時に
1≦a≦b≦c≦d≦9　⇔　1≦a＜b+1＜c+2＜d+3≦12
がなぜ同値になるのか、
等号をなくすためになぜb+1、c+2などとするのかわかりません。
+1、+2、+3といった数字はどこから出てくるのですか。
よろしくお願いします。

回答No.1

f272

> の部分は何をしているのですか。

単に同値だと言っているだけだな。それとも，この２つが同値であることが納得できないのか？

それで1から12までの12個の数値から異なる4つの数値を選んで，それらをa，b+1，，c+2，d+3とすればよいということだね。