整数問題／2ケタの整数を2個ずつ作る

質問

以下の問題です。

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1～9の数字が書かれた9枚のカードがあります。

今，Ａ君がまず２枚のカードを取り，十の位の数が一の位の数より大きくなるように並べて2ケタの数を作り，さらに2枚のカードを取り，十の位の数が一の位の数より大きくなるように並べて2ケタの数を作ります。こうして，Ａ君は2ケタの数を2つ作ります。

次に，Ｂ君が残りの5枚のカードからＡ君と同様に2ケタの数を2つ作ります。

Ａ君が作った2つの2ケタの数の和とＢ君が作った2つの2ケタの数の和が同じになったとき，和は全部で何通り考えられますか。
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[1]のカードを使わない場合は，繰り上がりがないので数えやすいのですが(6通り),
その他の場合は，繰り上がりがないことの証明はどうしたらいいのでしょうか。
お力をお貸しください。

回答No.3

petertalk

No1です。

数え方に補足をしようと思ったのですが、その前に、
１人だけ一の位が繰り上がるケースはないことについてです。

No2様が既に書かれていますが、別の考え方として、

A君の一の位の合計が繰り上がってB君と等しくなる場合、
最低のケースを考えると、B君の一の位は1と2で、
この場合、A君の一の位の合計は13です。
そして、A君の十の位はそれぞれ一の位よりも大きいのだから、
A君の十の位の合計は、最低でも15です。
また、実際に計算すると、A君の一の位は繰り上がるのだから、
B君の十の位の合計は16です。

A君の十の位の合計：15 は、9+6、8+7 であり
B君の十の位の合計：16 は、9+7 なので、
同時に満たす組み合わせはありません。

次に大きい組み合わせは、
A君の十の位の合計：16 は、9+7 であり
B君の十の位の合計：17 は、9+8 なので、
やはり同時に満たす組み合わせはありません。

そしてこれが最大なので、１人だけ一の位が繰り上がる組み合わせは
存在しないことがわかります。

以上から、一の位同士、十の位同士、それぞれ独立に
合計が等しくなる組み合わせを数えればいいことになります。

まず、十の位が等しくなる組み合わせと、残った数を並べてみます。
重複がないように、１つ目の数のほうが大きく、
１つ目の数はＡ君のほうが大きくなるように並べると、
意外に少なく、以下で全てです。

A君 B君 - 未使用の数
9 6 8 7 - 5 4 3 2 1
9 5 8 6 - 7 4 3 2 1
9 4 8 5 - 7 6 3 2 1
9 3 8 4 - 7 6 5 2 1
9 3 7 5 - 8 6 4 2 1
9 2 8 3 - 7 6 5 4 1
9 2 7 4 - 8 6 5 3 1
9 2 6 5 - 8 7 4 3 1
8 5 7 6 - 4 3 2 1
8 4 7 5 - 6 3 2 1
8 3 7 4 - 6 5 2 1
8 3 6 5 - 7 4 2 1
8 2 7 3 - 6 5 4 1
8 2 6 4 - 7 5 3 1

次に、未使用の数を一の位に並べるのですが、
除外する数が決まれば合計も決まるので、全て並べる必要はありません。
右に合計と除外する数だけを追加します。

この時、一通りでも条件を満たす組合せがあることが必要であり、
なければ x としておきます。

A君 B君 - 未使用の数 合計(除外する数)
9 6 8 7 - 5 4 3 2 1 - 157(1), 156(3), 155(5)
9 5 8 6 - 7 4 3 2 1 - 145(7)
9 4 8 5 - 7 6 3 2 1 - 139(1), 138(3)
9 3 8 4 - 7 6 5 2 1 - 128(5), 127(7)
9 3 7 5 - 8 6 4 2 1 - 130(1)
9 2 8 3 - 7 6 5 4 1 - x
9 2 7 4 - 8 6 5 3 1 - 119(5)
9 2 6 5 - 8 7 4 3 1 - x
8 5 7 6 - 4 3 2 1 --- 135(9)
8 4 7 5 - 6 3 2 1 --- x
8 3 7 4 - 6 5 2 1 --- 117(9)
8 3 6 5 - 7 4 2 1 --- x
8 2 7 3 - 6 5 4 1 --- x
8 2 6 4 - 7 5 3 1 --- 108(9)

以上から、合計に重複はないので、１３通りとなります。

おそらく数えるしか方法がない問題で、
数え方の違いで何通りか解法があると思われます。

回答No.2

nag0720

ちょっと数理的に解いてみます。

Ａ君とＢ君が作った数をそれぞれ、(ab, cd), (ef, gh)とします。
条件は、
a,b,c,d,e,f,g,hは1から9までの異なる整数
ab+cd=ef+gh
a＞b, c＞d, e＞f, g＞h

簡単にするために、a＞c, b＞d, e＞g, f＞h, a＞e　の条件も加えておきます。

一の位の数をみると、
b+d=f+h　または　b+d=f+h+10　または　b+d=f+h-10
のどれかですが、b+d=f+h+10　となりうるのは、
7+6=1+2+10, 8+5=1+2+10, 8+6=1+3+10, 8+7=1+5+10, 8+7=2+3+10
の場合だけです。しかし、十の位まで考えるとこのパターンは存在しません。
b+d=f+h-10　も同様なので、
結局、一の位は、b+d=f+h
従って十の位も、a+c=e+g
1+2+3+・・・+9=45、a+b+c+d=e+f+g+h
なので、9枚のうち残るカードは奇数になります。

以上のことを踏まえて数えてみると、

1のカードが残った場合、(a+b+c+d=e+f+g+h=22)
98+32=76+54,
97+42=86+53, 96+43=87+52,
95+62=84+73, 94+63=85+72

3のカードが残った場合、(a+b+c+d=e+f+g+h=21)
97+41=86+52, 96+42=87+51,
95+61=84+72, 94+62=85+71

5のカードが残った場合、(a+b+c+d=e+f+g+h=20)
98+21=76+43,
97+31=86+42, 96+32=87+41,
94+61=83+72, 93+62=84+71

7のカードが残った場合、(a+b+c+d=e+f+g+h=19)
96+31=85+42, 95+32=86+41,
94+51=83+62, 93+52=84+61

9のカードが残った場合、(a+b+c+d=e+f+g+h=18)
87+21=65+43,
86+31=75+42, 85+32=76+41,
84+51=73+62, 83+52=74+61

以上23通りで＃１さんと同じです。

回答No.1

petertalk

計算で出せるような気がしないんで、数えてみました。

その際、重複がなくなるように、以下の条件で絞りました。

- 十の位、一の位、ともに１つ目の数のほうが大きい
- １つ目の数はＡ君のほうが大きい

そうすると、全ての組み合わせが以下の２３通りで、
和は、108,117,119,127,128,130,135,138,139,145,155,156,157の１３通りです。

98,32 76,54
98,21 76,43
97,42 86,53
97,41 86,52
97,31 86,42
96,43 87,52
96,42 87,51
96,32 87,41
96,31 85,42
95,62 84,73
95,61 84,72
95,32 86,41
94,63 85,72
94,62 85,71
94,61 83,72
94,51 83,62
93,62 84,71
93,52 84,61
87,21 65,43
86,31 75,42
85,32 76,41
84,51 73,62
83,52 74,61