線形の問題です

質問

次の問題がわからないのですが解法と答えを教えてください。よろしくお願いします

回答No.2

muturajcp

t[x,y,z,w]は[x,y,z,w]の転置縦ベクトルとする
V={t[x,y,z,w]|x-2y+z-w=0}
A=
[p,q,r,2]
[1,1,1,1]
[-1,4,0,1]
[-1,5,-2,2]
f(x)=Ax(x∈V)とする
(1)
t[x,y,z,w]∈Vとすると
[x,y,z,w]
=[x,y,z,x-2y+z]
=[x,0,0,x]+[0,y,0,-2y]+z[0,0,z,z]
=x[1,0,0,1]+y[0,1,0,-2]+z[0,0,1,1]
だから
(t[1,0,0,1],t[0,1,0,-2],t[0,0,1,1])
はVの基底となる

(2)
Im(f)⊂Vだから
f(t[1,0,0,1])=
[ p,q, r,2][1]
[ 1,1, 1,1][0]
[-1,4, 0,1][0]
[-1,5,-2,2][1]
=t[p+2,2,0,1]∈V
p+2-4-1=p-3=0
p=3
f(t[0,1,0,-2])=
[ p,q, r,2][0]
[ 1,1, 1,1][1]
[-1,4, 0,1][0]
[-1,5,-2,2][-2]
=t[q-4,-1,2,1]∈V
q-4+2+2-1=q-1=0
q=1
f(t[0,0,1,1])=
[ p,q, r,2][0]
[ 1,1, 1,1][0]
[-1,4, 0,1][1]
[-1,5,-2,2][1]
=t[r+2,2,1,0]∈V
r+2-4+1=r-1=0
r=1

(3)
A=
[ 3,1, 1,2]
[ 1,1, 1,1]
[-1,4, 0,1]
[-1,5,-2,2]
Vの基底を横に並べたものを
B=
[1, 0,0]
[0, 1,0]
[0, 0,1]
[1,-2,1]
とすると
AB=
[ 3,1, 1,2][1, 0,0]
[ 1,1, 1,1][0, 1,0]
[-1,4, 0,1][0, 0,1]
[-1,5,-2,2][1,-2,1]
=
[5,-3,3]
[2,-1,2]
[0, 2,1]
[1, 1,0]

∴Vの基底Bに関するfの表現行列は
[5,-3,3]
[2,-1,2]
[0, 2,1]

回答No.1

misumiss

＞次のように与えられる F^4 の部分空間 V を考える。
F って, なんですか？