線形代数 固有値

質問

次の問題の解法と解答を教えてください。

(1)行列
| 1 2 3 |
| 0 4 5 |
| 0 0 6 |
のすべての固有値を求めよ。

(2)各固有値に対する固有空間の次元と基底を求めよ。

回答No.1

muturajcp

(1)
固有値aとすると
|1-a,2,3|
|0,4-a,5|
|0,0,6-a|
=(1-a)(4-a)(6-a)=0
∴
a=1,4,6

(2)
(1,2,3)(x)=(x)
(0,4,5)(y).(y)
(0,0,6)(z).(z)
x+2y+3z=x
4y+5z=y
6z=z
z=0
y=0
固有値1に対する固有空間の次元
1
基底
(1,0,0)

(1,2,3)(x)=(4x)
(0,4,5)(y).(4y)
(0,0,6)(z).(4z)
x+2y+3z=4x
4y+5z=4y
6z=4z
z=0
2y=3x
固有値4に対する固有空間の次元
1
基底
(2,3,0)

(1,2,3)(x)=(6x)
(0,4,5)(y).(6y)
(0,0,6)(z).(6z)
x+2y+3z=6x
4y+5z=6y
6z=6z
5z=2y
2y+3z=5x
固有値6に対する固有空間の次元
1
基底
(16,25,10)