数学 漸化式、極限

質問

添付した問題の詳しい解説が知りたいです。
どなたか解説、解答していただけないでしょうか?

回答No.1

muturajcp

a>0,b>0,0<α<1,0<β<1とする
(1)
初項a_1=aと漸化式a_{n+1}=αa_n,(n=1,2,3,…)で定義された数列{a_n}がある
このとき
a_n=aα^{n-1}
だから
x_n=log(a_n),(n=1,2,3,…)により定まる数列{x_n}の一般項は
x_n=log(a)+(n-1)logα

(2)
初項b_1=bと漸化式b_{n+1}=β(b_n)^2,(n=1,2,3,…)で定義された数列{b_n}がある
このとき
y_n=log(b_n),(n=1,2,3,…)とすると
y_{n+1}=log[b_{n+1}]=logβ+2log(b_n)=2y_n+logβ
y_{n+1}+logβ=2(y_n+logβ)
z_n=y_n+logβとすると
z_{n+1}=2z_n
z_n=(z_1)2^{n-1}
y_n+logβ=(z_1)2^{n-1}
∴数列{y_n}の一般項は
y_n={log(bβ)}2^{n-1}-logβ

(3)
a=b=1のとき
∀ε>0に対して
∃n_0>|2logα|/{ε|logβ|(log2)^2}
∀n>n_0
↓
|x_{n+1}/y_{n+1}|
=|nlogα|/|(logβ){(2^n)-1}|
=|nlogα|/|(logβ){(e^{nlog2})-1}|
<|nlogα|/|(logβ){(nlog2)^2}/2|
=|2logα|/{n|logβ|(log2)^2}
<|2logα|/{n_0|logβ|(log2)^2}
<ε
だから
lim_{n→∞}(x_{n+1})/(y_{n+1})=0