漸化式の問題です。

質問

以下の問題の解答と解説をお願いします。

回答No.3

momordica · ベストアンサー

まあ、慣れてる人は、＃１さんみたいにやることが多いかなとは思うんですが、
より簡単な形の漸化式に落とし込んで解くなら、

(1)
両辺に n(n+1)(n+2) を掛けます。
　n(n+1)(n+2)a[n]=(n-1)n(n+1)a[n-1]
ここで、b[n]=n(n+1)(n+2)a[n] とおくと、
　b[n]=b[n-1]
よって、b[n]はnの値によらない定数になるので、
　b[n]=b[1]
　　　=1*2*3*a[1]
　　　=6*(2/3)
　　　=4
　a[n]=b[n]/{n(n+1)(n+2)}
　　　=4/{n(n+1)(n+2)}

(2)
両辺を (n+1)(n+2) で割ります。
　a[n+1]/{(n+1)(n+2)}=a[n]/{n(n+1)}+1/{(n+1)(n+2)}
ここで、b[n]=a[n]/{n(n+1)} とおくと、
　b[n+1]=b[n]+1/{(n+1)(n+2)}
これで十分解ける形だと思いますが、さらに右辺の最後の分数の項を分解して
　b[n+1]=b[n]+1/(n+1)-1/(n+2)
　∴　b[n+1]+1/(n+2)=b[n]+1/(n+1)
ここで、c[n]=b[n]+1/(n+1) とおくことで、
　c[n+1]=c[n]
とまでしてもいいと思います。あとは、(1)と同様に、
　c[n]=c[1]
　　　=b[1]+1/2
　　　=a[1]/(1*2)+1/2
　　　=2/2+1/2
　　　=3/2
　a[n]=n(n+1)b[n]
　　　=n(n+1){c[n]-1/(n+1)}
　　　=n(n+1){3/2-1/(n+1)}
　　　=n(n+1){(3n+1)/2(n+1)}
　　　=n(3n+1)/2

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

漸化式の問題は
わからなければ具体的に数列を計算するんです

(2)の場合は
2,7,15,26,40,57,77
ですので
階差をとれば
5,8,11,14,17,20
つまり
初項5公差3の等差数列になってそうなので
階差数列の式にあてはめて計算すれば
a1=2
an=n(3n+1)/2 (n=2,3,...)
となることが予想されます．

これを帰納法で示せばよいのです．
実際示せます

(1)についても実はこうやって推測すればできます
たぶんこの(1)(2)はこういう「推測」の問題で
一塊になってるのではと予想します．
＃もっとも(1)の場合は，No.1のようにとく方がすっきりしてるというか
＃三角関数の定積分の漸化式が頭にあればあの流れで解いちゃいます．

(2)を真正面から解くのは相当難しいか
できてもかなり技巧的じゃないかと思います．

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

info22_

まず(1)だけ
添字は[]を付けて書く事にします。

a[1]=2/3,
a[n]=((n-1)/(n+2))a[n-1] (n=2,3,4,…)
=((n-1)/(n+2))((n-2)/(n+1))a[n-2]
=((n-1)/(n+2))((n-2)/(n+1))((n-3)/n)a[n-3]
=((n-1)/(n+2))((n-2)/(n+1))((n-3)/n)…(2/5)(1/4)a[1]
=((n-1)!/(n+2)!)*3!*(2/3)
=4/(n(n+2)(n+1))

a[n]=4/(n(n+2)(n+1)) (n=1,2,3,4,…)

お礼

ありがとうございました。