漸化式の極限

質問

an+1=(2+an^2)/3
を満たすとき
lim(an)
n→∞
を求めよ
という問題があって、
関数電卓を使って調べたところ
初項a1が
-2<a1<2 のとき1に収束
a1=-2,2 のとき2に収束
a1<-2,2<a1 のとき発散

というのはわかったんですが...

なぜこうなるかが全く分かりません
1,2という答えはan+1=an=xとしたときの二次方程式の解だとおもうのですが、一般項も出せないし(極限をきいてるのでおそらく出せないでしょうが...)関連性を説明できません

こうなる理由を解説してください。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

＞an+1=an=xとしたときの二次方程式の解だとおもうのですが
そうですね。極限値が xになると置いたならば、
lim a[n]→ xですし、lim a[n+1]→ xにもなります。
それをもとの関係式に代入している。と考えれば、xは方程式の解として得られます。
このような方程式を特定方程式と呼んだりします。

で、初項の値によって極限値が変わる点ですが、
添付のような図で考えることができます。
漸化式を関数に置き換え、直線：y＝ xとの「折り返し」を考えます。

・x＝ a[n]に対する a[n]の値は、f( a[n] )として得られます。
・次に、a[n+1]＝ f( a[n] )を x座標の値とするために、直線：y＝ xに突き当たるまで移動します。
これで、x＝ a[n+1]に対する a[n+2]の値を得ることができます。

すると、スタートの値によって行き着く先が変わります。
それが初項の値によって極限値が変わることに対応します。

お礼

特性方程式は一般項を見つけるだけじゃないんですね

なるほど！だからy=xとy=f(x)の外にある点はどんどん外に折り返され発散し、中の点は共有点(のひとつ)に収束するんですね
長い間の疑問がやっと解けました
ありがとうございます!!

回答No.1

itoi_mitsugu

x=(2+x^2)/3とおくとx=1,2
a_(n+1)-1=(a_n^2-1)/3
=(a_n+1)/3×(a_n-1)
|a_1|>2のときa_2>2より帰納法でa_n>2
|a_(n+1)-1|>|a_n-1|となるのでa_n-1は発散する数列となり
|a_1|<2のときはa_n-1は0に収束する数列となる
漸化不等式を作ればいいです。

お礼

不等式ではさみうちですね
an-x を0か∞にしてとくのですね

ありがとうございます