高次方程式

質問

x^6＋aｘ^4＋4ｘ^2＋b=0の相異なる実数解が３つある時この方程式の解を求めよ。ただしa,bは実数とする。の解がわかりません。どなたかわかる方いますか？

回答No.2

sinisorsa

＞相異なる実数解が３つある時
について補足してください。
ちょうど３つなのか、３つ以上あるのか
どちらでしょうか？

実係数の６次の代数方程式では、解は６つあります。
また解の複素共役もまた解となります。
純粋な複素数解はペアとなりますから、純粋な複素数解は偶数個
となる。
しかるに、実数解がちょうど３つだとすると、純粋な複素数解
が３個となりますので、題意を満たす解は存在しません。

回答No.1

aquatarku5

t=x^2とおくと、
与式=f(t)=t^3+at^2+4t+b=0　つまりtについての3次方程式。

xについて異なる実数解が３つあることから、
t(>=0)について、解が２つあり、
(1)１つは0,１つはt1（>=0,重解）
または
(2)１つは0（重解）、１つはt1
のいずれかとなる。

f(0)=b
df/dt(0)=4≠0　なので、(2)はありえない。

したがって,
・b=0
・f(t)=t^3＋at^2+4t=t(t^2+at+4)
よって、t^2+at+4=0が重解（>0)をもつには,D=0よりa=-4

以上から,
a=-4,b=0、t=0及び2（重解）となり、
元の高次方程式の相異なる実数解は、0,±√2
かと。