tanθ=9a^2/(1+36a^4)だとする

質問

aが正の実数値をとりながら変化するとき、θを最大にするaの値とそのときのtanθの値を求めよ

という問題の解き方を教えてください

回答No.5

ereserve67

ANo.2です．補足への回答です．

>k=tanφ(0<φ<π/2)と置けるのは何故ですか？
>aは正の実数値を取りながら変化するからkも正の実数値を取りながら変化しますよね
>するとtanφ(0<φ<π/2)のとりうる値とkのとりうる値が変わってきませんか？

tanφ(0<φ<π/2)は正の実数値すべてを動きます．φを直線y=mxとx軸正方向のつくる角と考えれば

m=tanφ

ですよね．0<φ<π/2はmが傾きとしてすべての正の実数値をとることを意味します．

あるいはy=tan(x)(0<x<π/2) のグラフの値域を見て下さい（図）．すべての正の値をとります．

お礼

ようやく分かりました
ありがとうございました

回答No.4

quadlike

理系の人ならば，既に回答されているように，単純に
　f(a)＝9a^2/(1+36a^4)
として，a で微分して最大値を求めてやればよいです．
ただし，分数の微分ということで計算がやや面倒です．

以下では，文系の人向け別解を二つ紹介します．

＜別解1：相加相乗平均＞
a^2＞0 なので，分子分母を a^2 で割ります．すると，
　9a^2/(1+36a^4)＝9/((1/a^2)+36a^2)
です．相加相乗平均の関係より，
　(分母)＝(1/a^2)+36a^2≧2√((1/a^2)・(36a^2))＝12
です．従って，
　9/((1/a^2)+36a^2)≦9/12＝3/4
となって最大値は 4/3 とわかります．等号が成立するのは，
1/a^2＝36a^2　∴a＝1/√6
のときです．

＜別解2：グラフの交点＞
2つのグラフ
　y＝9a^2/(1+36a^4)と
　y＝k
を考えます．この2つのグラフが交点を持つような k の範囲を求めることを考えます．この k の範囲は，グラフを考えれば， y＝9a^2/(1+36a^4) の最大値と最小値を与えることがわかります．上の2式からyを消去すると，
　　 9a^2/(1+36a^4)＝k　……(1)
　⇔ 36ka^4-9a^2＋k＝0
　⇔ 36kx^2-9x＋k＝0　（x＝a^2＞0）
従って，2次方程式 36kx^2-9x＋k＝0 が実数解を持つようなkの範囲を求めればいいわけです．そこで，関数
　f(x)＝36kx^2-9x＋k
を考えます．(1)の左辺は正なので，k＞0 です．
　f(0)＝k＞0
　f(x)＝36k(x-1/(8k))^2＋k-9/(16k)
から，36kx^2-9x＋k＝0 が実数解をもつのは，
　k-9/(16k)≦0　∴0＜k≦3/4
とわかります．以上より，
　0＜9a^2/(1+36a^4)≦3/4
です．従って，最大値は 3/4 です．このときの a はa＝1/√6です．

お礼

色々な回答があるんですね
回答ありがとうございました

回答No.3

info22_

No.1です。

ANo.1の補足について

>π/2＞θ＞0を書き忘れていました
なら
ANo.1の回答で
>θの範囲が0≦θ≦πなら
の所が
「θの範囲が 0＜θ＜π/2あるから」
とするだけで他には影響がありません。

なお、添付グラフのx軸がよく見えませんので、右クリックして「拡大」をセレクトすればよく見えます。

お礼

わかりました
回答ありがとうございました

回答No.2

ereserve67

tanθは任意の実数値をとり，θの周期関数ですから，θはいくらでも大きな値をとりえます．ふつうは

-π/2<θ<π/2

とすればy=tanθは連続な単調増加関数になり逆関数

θ=Arctan(y)

も連続な単調増加関数なのでそうしましょう．

6a^2=k>0

とおくと

tanθ=(3/2)(6a^2)/{1+(6a^2)^2}

=(3/2)k/(1+k^2)=f(k)(k>0)

とかけます．これが最大のときθも最大になります．

k=tanφ(0<φ<π/2)

とおくと

tanθ=f(k)=f(tanφ)

=(3/2)tanφ/(1+tan^2φ)

=(3/2)tanφcos^2φ=(3/2)sinφcosφ

=(3/4)sin(2φ)(0<2φ<π)

これは2φ=π/2,φ=π/4のとき最大値3/4をとり，同時にθも最大値

θ=Arctan(3/4)≒0.6435011088(ラジアン）

をとります．またこのとき

6a^2=k=tanπ/4=1,a=1/√6

となります．

まとめると

『a=1/√6のときθは最大でそのときtanθ=3/4』

お礼

回答ありがとうございました
わかりました

補足

すみません疑問があります
k=tanφ(0<φ<π/2)と置けるのは何故ですか？
aは正の実数値を取りながら変化するからkも正の実数値を取りながら変化しますよね
するとtanφ(0<φ<π/2)のとりうる値とkのとりうる値が変わってきませんか？

回答No.1

info22_

f(a)=9a^2/(1+36a^4)とおくと
f(a)はaの偶関数。
f'(a)=-18a(6a^2-1)(6a^2+1)/(36a^4+1)^2
f''(a)=18(3888x^8-432x^4+1)/(36x^4+1)^3
f'(a)=0とするaは a=±1/√6,0
a=±1/√6のときf''(a)=-16<0なので極大値f(a)=3/4
a=0のときf''(a)=18>0なので極小値f(a)=0
f(a)の増減表を作成（ご自分で作成でする）して
f(a)のグラフを描く。
添付図のようなグラフになります。
0≦f(a)≦3/4
0≦tanθ≦3/4

tanθは周期πの周期関数です。
θの範囲が問題に書いてないですか？

θの範囲が0≦θ≦πなら
　0≦f(a)=tanθ≦3/4,0≦θ≦tan^-1(3/4)なので
　θ=tan^-1(3/4)が最大値

θが最大値tan^-1(3/4)をとる時のaは
　a=±1/√6。この時のtanθ=3/4。

お礼

回答ありがとうございました

補足

すみません、π/2＞θ＞0を書き忘れていました