tanθって|tanβ-α|？それともtan|β-α|？

質問

y=x^2上の２点A(a,a^2),B(b,b^2)における２接線のなす鋭角θを求める問題
なのですが、Aにおける接線とx軸のなす角をα、Bにおける接線とx軸のなす角β
とすると、tanθ=|tanβ-α|と書かれてあったのですが、なぜtan|β-α|では
ないのでしょうか？また、tan|θ|と|tanθ|はどう違うのでしょうか？

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

この問題の場合に限らず, 2直線のなす鋭角を求める一般形という意味では
質問者の記述のどちらも誤りで, tanθ=|tan(β-α)|です. 多分最初の式を書く時の誤りでしょう．「tanθ＝角の差のtanの絶対値」です．

[理由]
A(√３,1), B(-√３, 1) のとき，教科書的に 0°≦α＜180°， 0°≦β＜180°で表せば，α＝30°，β＝150°で
tanθ＝|tan(β-α)|＝|tan120°|＝|-√３|＝√３ で，θ＝60°（正解）
なお，tanθ＝|tan(β-α)|で計算する限り，αやβをどう表してあっても，(β＝－30°などとしていても，あるいはα＝150°，β＝30°でも)必ず正しく求められます．ただし，|tan(β-α)|を計算していって，分母が０になったら，θ＝90°と解釈するとします．

一方，tan|β-α|＝tan|120°|＝tan120°＝－√３ となり，θ＝120°（または－60°）となり，鋭角θに合わない（0°＜θ＜90°に合わない）場合も出てきて，一般形としては誤りです．

お礼

oshiete_gooさんこんにちは。どうもです。理由もよくわかりました。ありがとうございました。

回答No.3

oshiete_goo

No.2の補足です.
さっきは, 一般的理由がはっきりするように説明するために, それぞれの角がきれいに出て, しかも元の問題には合っていない2点を取りました. その点は大丈夫でしょうか. もちろんこのやり方で元の問題も正しく解けます．

さて, 重要な補足ですが, このような場合と違って, 普通はそれぞれの角は求まらないが，角の差はtanθ＝|tan(β-α)|で計算できるという場合が多く出題されます．すると，実際はtanの加法定理を用いて
tanθ＝|tan(β-α)|＝|(tanβ-tanα)／(1+tanβ・tanα)|
とやるので，その意味でもtanα，tanβで直接表せるので都合がよいのです．

お礼

その形はホントによく見ますね。よくプラスとマイナスを間違います（汗）。
今回、|tan(β-α)|とtan|(β-α)|では大きく違うと言うことがよくわかりました。とても勉強になって感謝感謝です。(^^)

回答No.1

uhyohyohyo

> tanθ=|tanβ-α|
これは明らかに間違いですね。
> tan|β-α|では ないのでしょうか？
こっちが正しいですよ。図を適当なもの書いてみてください。わざわざ正接をとるまでもないのですが、二つの接線とx軸が作る三角形からα、β及びθの関係はすぐ見えると思います。

また、tan|θ|はθの絶対値を取ってから正接を取るという意味です。|tanθ|はtanθの絶対値を取りなさいということです。
例えばθ=-45°で、
tan|θ|=tan|-45°|=tan45°=1
|tanθ|=|tan(-45°)|=|-1|=1
となります。