6次正方行列の行列式

質問

16y-4=αとする

4　8x　-1　0　0　0
0　4　8x　-1　0　0
0　0　4　8x　-1　0
0　0　0　4　8x　-1
16　0　α　0　1　0
0　16　0　α　0　1
という行列の行列式はどうやって求めるのでしょうか？
列で余因子展開してみたのですがサラスの公式が使える3次まで落としてる間に非常に長くなってミスを連発してしまうのでうまくいきませんでした

回答No.3

ramayana · ベストアンサー

比較的簡単な操作で行列式を計算する方法として、LU分解法や掃出し法があります。掃出し法で計算してみましょう。次の事実を使います。

A 行列のある行に別の行の定数倍を足して（引いても）も行列式は変わらない。

B　第 1 列について、第 1 行の要素が a で、第 2 行以下がすべて 0 のとき、その行列の行列式は、第 1 行と第 1 列を除いた小行列の行列式を a 倍したものに等しい。

テキスト形式で行列を書くため、” ; ”で列を区切り、各列の要素を” , ”で区切ることにします。例えば、今回の行列は、

( 4, 0, 0, 0, 16, 0; 8x, 4, 0, 0, 0, 16; -1, 8x, 4, 0, α, 0; 0, -1, 8x, 4, 0, α; 0, 0, -1, 8x, 1, 0; 0, 0, 0, -1, 0, 1 )

となります。また、行列式を det で表します。以下のように計算できます。

det( 4, 0, 0, 0, 16, 0; 8x, 4, 0, 0, 0, 16; -1, 8x, 4, 0, α, 0; 0, -1, 8x, 4, 0, α; 0, 0, -1, 8x, 1, 0; 0, 0, 0, -1, 0, 1 )

=　det( 4, 0, 0, 0, 0, 0; 8x, 4, 0, 0, -32x, 16; -1, 8x, 4, 0, α+4, 0; 0, -1, 8x, 4, 0, α; 0, 0, -1, 8x, 1, 0; 0, 0, 0, -1, 0, 1 )

　　（ A による。第 5 行から第 1 行× 4 を引いた。）

=　4 det(4, 0, 0, -32x, 16; 8x, 4, 0, α+4, 0; -1, 8x, 4, 0, α; 0, -1, 8x, 1, 0; 0, 0, -1, 0, 1 )

　　（ B による。）

=　4 det(4, 0, 0, 0, 0; 8x, 4, 0, 64x^2+α+4, -32x; -1, 8x, 4, -8x, α+4; 0, -1, 8x, 1, 0; 0, 0, -1, 0, 1 )

　　（ A による。第 4 行に第 1 行× 8x を足した。
　　　第 5 行から第 1 行× 4 を引いた。）

=　16 det( 4, 0, 64x^2+α+4, -32x; 8x, 4, -8x, α+4; -1, 8x, 1, 0; 0, -1, 0, 1 )

　　（ B による。）

=　16 det( 4, 0, 0, 0; 8x, 4, -128x^2-16x-2αx, 64x^2+α+4; -1, 8x, 16x^2+α/4+2, -8x; 0, -1, 0, 1 )

　　（ A による。第 3 行から第 1 行×(16x^2+α/4+1) を引いた。
　　　　第 4 行に第 1 行× 8x を足した。）

=　64 det(4, -128x^2-16x-2αx, 64x^2+α+4; 8x, 16x^2+α/4+2, -8x; -1, 0, 1 )

　　（ B による。）

=　64 det(4, 0, 0; 8x, 256x^3+48x^2+4αx^2+α/4+2, -128x^3-16x-2αx; -1, -32x^2-4x-αx/2, 16x^2+α/4+2 )

　　（ A による。第 2 行に第 1 行×(32x^2+4x+αx/2) を足した。
　　　　第 3 行から第 1 行× (16x^2+α/4+1) を引いた。）

=　256 det(256x^3+48x^2+4αx^2+α/4+2, -128x^3-16x-2αx; -32x^2-4x-αx/2, 16x^2+α/4+2 )

　　（ B による。）

=　256× ((256x^3+48x^2+4αx^2+α/4+2)( 16x^2+α/4+2)-( -128x^3-16x-2αx)( -32x^2-4x-αx/2))

=　65,536x^4+16,384x^2+2,048αx^2 +16α^2+256α+1,024

お礼

そんな方法があるのですね
膨大な計算をわざわざしていただいてすみません
ありがとうございました

回答No.7

ramayana

「膨大な計算をわざわざしていただいて」

他の回答者さん達も言っていますけど、この程度の計算でビビッているようでは、先が思いやられます。自分で手を動かして作業しないことには、何も始まりません。

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.6

f272

#4さんの言うようにやってみると...
n=6の置換で，この問題の場合に必要になる（=0にならない）のは
(1,2,3,4,5,6)
(1,2,3,6,5,4)
(1,2,4,5,3,6)
(1,2,5,4,3,6)
(1,2,5,6,3,4)
(1,3,4,6,5,2)
(1,4,3,6,5,2)
(1,4,5,6,3,2)
(2,3,4,5,1,6)
(2,3,5,4,1,6)
(2,3,5,6,1,4)
(2,4,3,5,1,6)
(3,2,4,5,1,6)
(3,2,5,4,1,6)
(3,2,5,6,1,4)
(3,4,5,6,1,2)
だけだから，求める行列式は
(-1)^0*(4)*(4)*(4)*(4)*(1)*(1)
+(-1)^3*(4)*(4)*(4)*(-1)*(1)*(α)
+(-1)^2*(4)*(4)*(8x)*(8x)*(α)*(1)
+(-1)^3*(4)*(4)*(-1)*(4)*(α)*(1)
+(-1)^4*(4)*(4)*(-1)*(-1)*(α)*(α)
+(-1)^5*(4)*(8x)*(8x)*(-1)*(1)*(16)
+(-1)^6*(4)*(-1)*(4)*(-1)*(1)*(16)
+(-1)^7*(4)*(-1)*(-1)*(-1)*(α)*(16)
+(-1)^4*(8x)*(8x)*(8x)*(8x)*(16)*(1)
+(-1)^5*(8x)*(8x)*(-1)*(4)*(16)*(1)
+(-1)^6*(8x)*(8x)*(-1)*(-1)*(16)*(α)
+(-1)^5*(8x)*(-1)*(4)*(8x)*(16)*(1)
+(-1)^5*(-1)*(4)*(8x)*(8x)*(16)*(1)
+(-1)^6*(-1)*(4)*(-1)*(4)*(16)*(1)
+(-1)^7*(-1)*(4)*(-1)*(-1)*(16)*(α)
+(-1)^8*(-1)*(-1)*(-1)*(-1)*(16)*(16)
となって#3さんの結果と一致する。

お礼

助かります
ありがとうございました

回答No.5

alice_44

余因子展開を行列式の定義にしてしまっても、同値だから別に構わないでしょう。
定義するときには、第 1 行か第 1 列かの余因子展開に限定しておいて、
行列式の行交換、列交換、転置などから、どの行や列でも展開できることを、一度
証明する必要はあるけど。その際、標準的な定義は、証明を要する定理になります。

今回の行列は、最初に第 1 列で展開すると、5 次の行列式 2 個の線形和になり、
2 個をそれぞれ新しい第 5 列で展開すると、4 次行列式 4 個の線形和になります。
もう、そのへんから先は、も一度余因子展開してからサラスの方法に持ち込むなり、
掃き出してみるなり、根性出して例の Σ の出てくる定義に訴えるなり、
何かやればどうにかなるでしょう。

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.4

misumiss

＞しかも余因子展開は定義じゃなくてテクニックですよね？
当たり前です.
そして, 行列式がきちんと定義されていなければ, 余因子展開などは意味を持ちません.
公式などを使うのも結構ですが, それらがどうして成り立つのか理解していなければ, 本来ならば, 使う資格は無いと思います.

行列式の定義なら, Wikipedia にもかかれています.
2次正方行列 と 3次正方行列を例に, それらの行列式を, 定義に基づいて求めてみます.

2次正方行列 A = (a_ij),
S_2 ∋ σ = (1), τ = (12), とします.
det A = sgn(σ)・(a_11)(a_22) + sgn(τ)・(a_12)(a_21) = (a_11)(a_22) - (a_12)(a_21)
よって, a_11 = a, a_12 = b, a_21 = c, a_22 = d, であれば, det A = ad - bc, となります.

3次正方行列 X = (x_ij),
S_3 ∋ σ_1 = (1), σ_2 = (12), σ_3 = (23), σ_4 = (13), σ_5 = (123) = (13)(12), σ_6 = (132) = (12)(13), とします.
det X = sgn(σ_1)・(x_11)(x_22)(x_33) + sgn(σ_2)・(x_12)(x_21)(x_33) + sgn(σ_3)・(x_11)(x_23)(x_32) + sgn(σ_4)・(x_13)(x_22)(x_31) + sgn(σ_5)・(x_12)(x_23)(x_31) + sgn(σ_6)・(x_13)(x_21)(x_32)
= (x_11)(x_22)(x_33) - (x_12)(x_21)(x_33) - (x_11)(x_23)(x_32) - (x_13)(x_22)(x_31) + (x_12)(x_23)(x_31) + (x_13)(x_21)(x_32)

S_6 の元をすべてかき出すのは, 大変かもしれません.
しかし, "解き方がわからない," といって, ただ時間を浪費するよりは, 地道に計算するほうが利口です.
また, すでに述べたように, この行列の成分は 0 が多いので, 意外と作業は楽だと思います.

お礼

分かりました 地道にやります
ありがとうございました

回答No.2

misumiss

＞定義はad-bcですよね
違います.
一般に, n 次正方行列 A に対して, det A が定義できます.
その定義を, 知らないのですか.
効率よい解法を思いつかない場合は, 定義に基づいて, こつこつ計算する以外にありません.
この問題では, n = 6 ですが, 成分に 0 が多く含まれているので, 意外と少ない計算量で済むかもしれません.
頑張って, 計算してみてください.
それがどうしても嫌なら, 御自分で効率のよい方法を, なんとか考えてみてください.

補足

定義は何なのですか？
Wikipediaには
線型空間上の自己準同型に対して定義され、線型変換によって空間の体積要素が何倍に変わるかという概念を抽象化したものと見なす
と書いてありますがこれでは計算方法も分からないですし
しかも余因子展開は定義じゃなくてテクニックですよね？

回答No.1

misumiss

行列式の定義は, ご存知ですか。
ご存知なら, 定義に基づいて, こつこつ計算してください.

補足

定義はad-bcですよね
(
※
情報源http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/determinant/
)

サラスの公式は使わずに2次正方行列式まで落とせということですか？