正方行列の最小多項式の求め方は?
4×4正方行列A
1/2,-1/2,1,1
1/2,-1/2,-1,-1
0,0,3/2,-3/2
0,0,3/2,-3/2
と
正方行列B
0,1,0,0
0,0,2,0
0,0,0,3
0,0,0,0
のそれぞれの最小多項式を求めたく思ってます。
求め方はA-xE,B-xEに基本行列変形を施して対角行列を求めて4行4列成分に現れた多項式がAの最小多項式になるのかと思います。
A
↓
1/2-x,-1/2,1,1
1/2,-1/2-x,-1,-1
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1/2,-1/2-x,-1,-1
1/2-x,-1/2,1,1
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1/2,-1/2-x,-1,-1
0,-2x^2,2-2x,2-2x
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1/2,0,-1,-1
0,-2x^2,2-2x,2-2x
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1,0,0,-1
0,-2x^2,2-2x,2-2x
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1,0,0,0
0,-2x^2,2-2x,2-2x
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
と基本行列変形してみたのですがここから先の基本行列変形は分母にxが現れてしまい,どう進めていいのか困ってます。
そしてBについては
B
↓
-x,1,0,0
0,-x,2,0
0,0,-x,3
0,0,0,-x
↓
1,-x,0,0
-x,0,2,0
0,0,-x,3
0,0,0,-x
↓
1,0,0,0
-x,-x^2,2,0
0,0,-x,3
0,0,0,-x
↓
1,0,0,0
0,-x^2,2,0
0,0,-x,3
0,0,0,-x
とやはりここから先に進めません。
どのようにして求めたらいいのでしょうか?
補足
しましたが、5次、4次、3次と落としてる間に非常に式が長くなってしまうのですが