逆行列について。

質問

次の行列Aの逆行列を求めよ。
|0001|
|00-10|
|0-100|
|1000|
という問題なのですが
それぞれの成分の余因子を求めて、
余因子の行列を転地したものに、1/det(A)をかけたものが逆行列ですよね？

4*4行列の余因子はどうやって求めればいいのですか?

回答No.6

aquarius_hiro

ANo.2, ANo.3 です。

いろいろな求め方があるものですね。
面白いですね。

ただ、余因子で逆行列を求めてもそんなに手間ではないと思いますよ。

この行列は殆ど 0 ばかりなので、余因子を求めるときの3×3行列の行列式を考えるときに、1 や -1 が 3つ含まれるものだけが 行列式≠0 になり得ることに注意すれば、1行4列、2行3列、3行2列、4行1列の余因子以外は全部 0 になることが明らかです。

つまり余因子を考えるときに、ある行とある列を取り除いた 3×3行列を考えるのですが、そのときに、取り除いた行と列に 1 や -1 が 2つ含まれてしまったら、残りの3×3行列には、1 や -1 が 2つしか含まれませんよね。それらの行列式は明らかに 0 です。

それに、楽に求めるのが目的なら、元の行列を A とおいて、

AA=I

は明らかなので、

「AA=I より A^{-1} = A」

と答えるので解答として十分だと思います。

回答No.5

kts2371148

ガウスの消去法が一番素直だと思います。
(0　0　0 1)　(1 0 0 0)
(0　0 -1 0)　(0 1 0 0)
(0 -1　0 0)　(0 0 1 0)
(1　0　0 0)　(0 0 0 1)
１行目と４行目を交換し、２行目と３行目を交換すると、
(1　0　0 0)　(0 0 0 1)
(0 -1　0 0)　(0 0 1 0)
(0　0 -1 0)　(0 1 0 0)
(0　0　0 1)　(1 0 0 0)
となります。２行目を（－１）倍、３行目を（－１）倍すると、
(1 0 0 0)　(0　0　0 1)
(0 1 0 0)　(0　0 -1 0)
(0 0 1 0)　(0 -1　0 0)
(0 0 0 1)　(1　0　0 0)
となります。左側に単位行列ができましたので、
右側が求める逆行列になります。

回答No.4

noname#101087

ブロック分割でやってみましょう。
(テストでは禁じ手かも。検算用むきかな。でも行列要素が関数などの場合、この手でないとたいていおかしな結果になります)
一般論は飛ばして、本問だけ。

　|0　0|
　|0　0| = 0

　|0　1|
　|-1 0| = J
とすると、もとの行列M(4×4)は
　|0　J|
　|-J 0| = M
と表せる。
これを 4行の列行列(2行ずつ分けて x1, x2 とする) に掛けた結果が4行の列行列(2行ずつ分けて y1, y2)、
という線型方程式を解けばよい。
　M |x1| = |y1|
　　 |x2|　　|y2|
すなわち、
　J|x2| = |y1|
-J|x1| = |y2|
になり、簡単に解ける。J~ は、J の逆行列。
　|x1| = -J~|y2|
　|x2| = J~|y1|

この結果から、M の逆行列M~ は、
　|0　-J~|
　|J~　0 | = M~
になる。

回答No.3

aquarius_hiro

> A^{-1} =
> |0001|
> |00-10|
> |0-100|
> |1000|という事ですか。

そうです。

> ij行を除いた行列の行列式×(-1)^{i+j}
> というのは、
>
> 4*4行列の1行1列(A11)の場合、
> (-1)^{1+1}*
> |A22,A23,A24|
> |A32,A33,A34|
> |A42,A43,A44|
> という事ですよね?

左右の棒|を、行列式の|の意味にとればそうです。

> |A22,A23,A24|
> |A32,A33,A34|
> |A42,A43,A44|
> の部分はどのように解けばいいんですか？
> 3*3の行列でまたA^(-1)を求める？

行列式を計算するだけなので、逆行列は必要ないです。
普通に、行列式

A22*A33*A44 + A23*A34*A42 + A24*A32*A43
- A22*A34*A43 - A23*A32*A44 - A24*A33*A42

を計算して、実数値が一つ出てくるだけですね。
今の場合は 0 になりますね。

0 にならないのは、例えば、1行4列の余因子で、
1 になりますね。

回答No.2

aquarius_hiro

こんにちは。

> 4*4行列の余因子はどうやって求めればいいのですか?

余因子は、ij行を除いた行列の行列式×(-1)^{i+j}で求まりますよ。

ただこの問題の行列は、A とおくと、

AA = I

になりますよね。ということは A^{-1} = A ですね。

お礼

ありがとうございます。
A^{-1} =
|0001|
|00-10|
|0-100|
|1000|という事ですか。

ij行を除いた行列の行列式×(-1)^{i+j}
というのは、

4*4行列の1行1列(A11)の場合、
(-1)^{1+1}*
|A22,A23,A24|
|A32,A33,A34|
|A42,A43,A44|
という事ですよね?
|A22,A23,A24|
|A32,A33,A34|
|A42,A43,A44|
の部分はどのように解けばいいんですか？
3*3の行列でまたA^(-1)を求める？

回答No.1

knmt_222

このAは特殊な行列なので、逆行列を求める際には逆行列が逆行列であることを証明すればよいと思いますが、それではだめな問題なのでしょうか？

補足

証明というのがよく分かりません。
A*Aの逆行列=単位行列
という事ですか?

まともなやり方では解けない問題ですか？