余因子 小行列 余因子行列

質問

余因子とは、例えば2行2列の正方行列

A＝（1　2）
　　 （3　4）

において、行列Aの1行1列目の成分における余因子は、
a＾～11=（-1）＾1+1｜4｜
のように表されます。

また、小行列式とは上の2行2列の行列において
1行1列目の成分における小行列式は、
D11＝｜4｜
のように表されます。

余因子行列は逆行列を求める際に利用されます。
上の2行2列の行列の余因子行列をA＾～とします。
余因子行列は余因子をそれぞれの成分毎に並べて
さらに転置した行列です。

ここで、良く分からない点があります。

余因子と小行列式の違いは、あるのでしょうか？
符号の違いだけでしょうか？
私の認識では、余因子に比べ小行列式は
行列から着目している成分を排除した
だけと認識しています。
また、ネットで調べると余因子と小行列式は同じ事を
示しているページもあり混乱しています。

余因子の記号チルダについて私が持っている、
初心者向けの参考書には、余因子にも余因子行列
にも～（チルダ）が付いています。

これもネットで調べると、余因子にチルダがついていない
場合があったりして混乱しています・・・

以上、質問内容をまとめますと、
・余因子と小行列式の違いはどこ？
・余因子にも、余因子行列同様にチルダ記号が必要か？

特に取り決めがない場合は、現在の主流の方を教えて下さい。

以上、説明がちょっとへたくそですがご回答よろしくお願い致します。

回答No.6

stomachman · ベストアンサー

ANo.4のコメントについてです。

> 余因子展開と小行列式展開はまったく同じもの
ではないでしょうか？


　ANo.4でそう申し上げた積もりです。
（違いを説明しろと何度も強調なさるから、もしかしてひょっとして何か全然別のものを指していらっしゃるのかも、とも思ったのですが、どうも要らぬ心配だったようで。）

> なぜ名前が別々なのでしょうか？

　このご質問が「同じものになぜ二つ名前があるのか」という意味なら、そりゃきっと、流儀の違い。たとえば、昔の専門書では、本によって用語が統一されていなかった、というようなことかも。例えば統計学で言う「有意水準」と「危険率」も、同じものに二つ名前がある例ですね。
　しかし、あんまり「小行列式展開」って呼びませんね。「係数は余因子だ」と言った方が表記も単純になる。それに、「小行列式展開」と憶えていると符号のことをうっかり忘れてしまいそうな気がするなあ。

補足

ご回答ありがとうございます。

理解しました。

余因子展開という名称が、やはり一般的なようですね。
他にも、ラプラスの展開定理などと呼ばれる場合もあるようです。

最後に、余因子展開した場合の符号（±）ですが、これは（-1）^i+jで
決まりますが、小行列式展開も同じ理論で符号が決まるのでしょうか？

小行列式展開の説明には（-1）^i+jで符号を決めているなどの説明が
なかったので気になりました。

小行列式展開を説明しているサイト：
http://www.material.tohoku.ac.jp/~denko/lecture/ryoshinyumon/quantum007+.pdf

以上、お手数をおかけしますがご回答よろしくお願いいたします。

回答No.8

Tacosan

純粋に日本語の問題で,
「小行列式や余因子は正方行列にのみ定義される」
と言えば「元の行列が正方行列のときにのみ小行列式や余因子が定義される」と解釈する. で, #5 で書いたのは
「元の行列が正方行列じゃなくても小行列式は考えられる」
というだけ. ま, ここは #4 に書いてあるんだけど.

お礼

ご回答ありがとうございました。
理解できました。

回答No.7

stomachman

ANo.6のコメントについて。

> 小行列式展開も同じ理論で符号が決まるのでしょうか？

同じものなんですから、当然ですよね。

お礼

ご回答ありがとうございました。

お陰様で理解できました。

回答No.5

Tacosan

余因子は正方行列に限られるけど小行列式は正方行列でなくても考えられる.

しかし, 「小行列式展開」は聞いたことないなぁ....

お礼

ご回答ありがとうございました。
理解できました。

補足

ご回答ありがとうございます。

小行列に関しては、正方行列でなくても考えられますが、
行列式の定義が正方行列が前提なので、
小行列式に関しては正方行列でなければならないのでは
ないのでしょうか？

また、小行列式展開についてはGoogle等で検索すると
幾つかhitしますが、余因子展開とまったく同じなので
どこが違うのか・・・という感じです。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

stomachman

ANo.3に付けられたコメントについてです。

> 小行列式や余因子は正方行列にのみ定義される

　その通りです。仰る所の「正方行列にのみ」とは、「元の行列が正方行列である場合のみ」じゃなくて、「いくつかの行や列を引っこ抜いた結果が正方行列になる場合のみ」。いや、そんなこと自明ですよね。

> ある程度使う記号も決まりがあると思います。

　そうかなあ。~だの^だの' (プライム)だの-(バー)だのは至る所で使われていて、共通して言えるのは、ごく広い意味で「関連があるけど別のもの」を指す、というほどのこと。ですから、具体的な意味を定義してから使うもんです。説明なしにいきなり記号が出てきたんじゃ通用しないと思いますよ。stomachmanなら、なんですその記号？と質問せずには通過しない。それが本なら、漬け物の重しか焼き芋の燃料にしちゃいますとも。

> 余因子展開と小行列式展開の違いは符号ではありませんよね？

　　任意のjについて、Aの行列式=「Aのi行j列に対する小行列式に適切な符号をつけたものとA[i,j]との積の総和」
と言うか、
　　任意のjについて、Aの行列式=「Aのi行j列に対する余因子とA[i,j]との積の総和」
と言うかの違い、つまり「適切な符号」の有無だけの違いだけだと思います。同じことなのだから、いちいち呼び名を区別しやませんが。（それとも、もしかして何か別の話を仰ってる？）

補足

ご回答ありがとうございます。

余因子展開と小行列式展開についてですが、
余因子展開と小行列式展開はまったく同じもの
ではないでしょうか？

なぜ名前が別々なのでしょうか？
Tacosan様もおっしゃっていますが、小行列式展開は
あまり一般的な名称ではないのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

stomachman

#2 <

　えと。たはは。すいませんね、ご指摘の通りハショリ過ぎです。

　正方行列に限らず、ある行列を持ってきまして、その行と列をそれぞれいくつでも取り除きます。さらに、行同士をいろいろ入れ替える。列同士をいろいろ入れ替える。（こうしていくらシャッフルしても、元々同じ列にあった要素同士は同じ列に、元々同じ行にあったもの同士は同じ行になっています。）こういう操作でいろんな行列ができちゃいますが、ともあれそうやって作られた行列の行列式はどれでもみんな、（元の行列の行列式に対して）「小行列式」と呼ばれます。

　で、余因子はというとANo.1の通り、元の行列から一つの行と列を除くという操作で作った小行列式に符号をくっつけたもの、ってことですね。

補足

ご回答ありがとうございます。
小行列であれば、正方行列であるかいなかによらないと考えますが、
小行列式や余因子は正方行列にのみ定義されるものと認識しています。
この認識で良いでしょうか？

もちろん、余因子行列を表すなどの説明は必要だと思いますが、
ある程度使う記号も決まりがあると思います。
余因子行列を「Aの上に＾の記号」で表す流儀も存在するようで、
どのように表すのが一般的か教えて頂けませんか？

また、追加質問で恐縮ですが、
余因子と小行列式の違いは符号との事でしたが、
余因子展開と小行列式展開は上の余因子と小行列式とは
まったく異なったものでしょうか？
余因子展開と小行列式展開の違いは符号ではありませんよね？

以上、お手数をお掛けしますがご回答何卒よろしくお願い致します。

回答No.2

Tacosan

「小行列式」はもっと一般的なものですよね＞#1.

回答No.1

stomachman

> ・余因子と小行列式の違いはどこ？

違いは符号。正方行列Aからi行とj列を除いた行列a[i,j]の行列式D(i,j)=|a[i,j]|がAのi行j列に対する小行列式で、それに符号(-1)^(i+j)をかけ算したものx[i,j]=((-1)^(i+j))D(i,j)がAのi行j列に対する余因子（余因数, cofactor）、Aの余因子x[i,j]をi行j列の要素とする行列がAの余因子行列Xで、|A|≠0ならばA^(-1) = X / |A|。

> ・余因子にも、余因子行列同様にチルダ記号が必要か？

　いやいや、何の断りもなしにチルダ記号を書いただけじゃそれが余因子行列であるということは伝わらんでしょう。どういう書き方でも（上記のように別の名前を付けたって）いいのだけれど、「この記号は余因子行列を表します」という断り書き（上記の例ならば、XはA余因子行列です」という説明）のを付ける必要があるんです。