弧度法について教えてください。違和感があります。

質問

タイトルの通りです。ラジアンという考え方に違和感があります。
僕は新高３で、数学は好きで、まあわりと得意なほうだと思います。

どのような違和感かというと、
180°＝πradなどと最初に学習しましたが、
そのうちに「radは省略できる」ということにして、
角度と数をが一緒くたにされているところに違和感があります。

なぜ数学では、弧度法での値のみを数として扱うのでしょうか？

たとえばｆ(x)を、 f(x) = x cos(x) と定めた場合、
(1)ｆ(π) = π cos(π) = -π となりますよね。
この計算の際に、radは省略ではなくむしろ無視されているように思うのです。

もし仮に度数法の°を省略（つまり無視）するとしていれば、
f(180) = 180 cos(180) = -180 となります。
(2)f(π) = π cos(π) ≒ 3 となって、
弧度法での計算結果とは大きく違ってくるように思います。

他にも、たとえばですが、
180°＝ 2πrad' などという角度の単位を考えることもできそうですし、
いろいろな角度の表し方はあると思うのですが、

その中でなぜ、ラジアンだけが、単位を持たない数として扱われるのでしょう？

半径と角度から、弧の長さや扇形の面積も求められて便利ですし、
無理数πが出てくることで、
三角関数を通した物と、数値とで因数に違いが出て、
後から度数法に換算しなおすこともやりやすい、とは思います。

ですが、それだけの理由で、(1)(2)のように計算結果に大きな違いが出てくるのは、
変な感じがするのですが、どうでしょうか？

回答No.7

thegenus

物理も数学も不得手ですが回答します。私は違和感だらけです（笑）質問者さんは数学も物理も得意なのでしょう。

まとめとしては物理と数学の違いではないと思います。

f(x) = x cos(x［rad］)
g(x) = x cos(x°)

x = 180 [単位はない]
x = π [単位はない]

f(180) = 180 cos(180［rad］)　≒ 180*(-0.6)= -108
f(π) = π cos( π［rad］)　＝ -π ≒ -3.14

g(180) = 180 cos(180°) ≒ 180*(-1) ＝ -180
g(π) = π cos(π°) ≒ 3.14cos(3.14°) ≒ 3.14

cosθのθの単位が、ラジアン。
xの単位は（無視ではなく、物理のように）指定されていないのに、勝手に角度の単位にしているような。

No.2のお礼で、度数法を使うのは間違いのような話がありますが、
三角関数の習いたての頃、数学Iの時間で、cos180°など計算させられませんでしたか。

しかしその後（基礎解析から）は、ラジアンの方が、数学をするには勝手がいいからでしょう。

以上、間違っていたら申し訳ないです。
今後も得意な数学の勉強に邁進されて下さい。

回答No.6

noname#221368

質問者様へ。#3の中で言いたかった事は、比例定数kが「rad」と「°」の違いを吸収してくれるので、#4さんの仰るように、SI規格に則って計算すれば大丈夫という事です（結果は変わらない）。

以下は発言するか迷いましたが、読んでさらに混乱するようなら、ここは無視して下さい。

　以下、#4さんへ。

(1)パラレルでない
　問題の一つは、物理単位と実用単位の区別ができてない事です。たぶんちゃんと教えてもらってないし、当然だとは思います。

　１m＝100cmが、距離数値は違うのに正しいのは、両辺が長さという物理単位を持つからで、メートル原器という実体があるからです。１mも100cmも、メートル原器と比較して同じである事を確認できます。
　1° = (π/180) radは、角度の話なので、角度は本来単位を持たず、「°」と「rad」は説明用のコメントのようなもので、数式自体とは何の関係もありません。1＝π/180とおいてるのと同じです。1° = (π/180) radが可能であるためには、人間による「決め」が必要です。それがSI規格です。

　　π　rad　＝　180°
　　※ SI規格による

が本当だと思います。アホラシイので、自分も当然、※以下は付けませんけど・・・。

(2)関数として同じか？が問題
　f(x)＝k・x・cos(x)で、比例定数kが「rad」と「°」の違いを吸収してくれるのであれば、cos(x　rad)とcos(x°)は関数として違う、という事をちゃんと言うべきだと思いました。自分の書き方も曖昧でしたが、関数が同じかどうかは、任意のxで同じ値を出すかどうかです。「SI規格」により、

　　cos(x°)＝cos((π/180)x　rad)

なので、xの関数としては明らかに違います。さらに「rad」と「°」はコメントにすぎず、関数自体とは本来何の関係もない事に注意すれば、

　　cos(x°)＝cos((π/180)x　rad)
　　※ SI規格による

が本当だと思います。

お礼

ありがとうございます。

補足

#3とまとめてです。

自分の中で、物理と数学がごっちゃになっていたような気がします。

f(x)＝x・cos(x)のような三角関数とただの数(?)が混ざって出てくるのは、
数学の中の世界だけで（僕の学習している範囲では）、
そこに「単位」という考え方を持ち込むこと自体、不自然かもしれません。

物理的には、定数をつけることで、
度数法と弧度法を行き来できるので、特に問題はないわけですね。。。

回答No.5

hiccup

sin(x) や cos(x) の微分を習うとき、君の疑問はすべて解決するよ。

ちなみに y を x の関数とするとき、y'' + y = 0 という微分方程式を、弧度法で測った x で表す y = sin(x) や y = cos(x) が満たしている。これはたいしたものでしょ。
角度なんて確かに勝手に単位を決めても何の影響もなさそうだけれども、sin cos に微分・積分がからんでくるとそうはいかない。勝手に決めた単位で sin や cos を再定義した場合、たとえばそれらが満たす先の微分方程式は少し変わってしまって y'' + k y = 0 のようになる。もしも x ° でやったなら k の値の見苦しさといったらひどいものだよ。

とにかく、もうすぐわかるから楽しみにしておけばよい。それまでの準備を見落とすことなく怠ることなくやっておけば、そのとき丸ごと解決さ。

お礼

ありがとうございます。

補足

すみません、新高3ですが、
学校の進度の都合で、もう定積分まで学習しています。

微積というと、三角関数の微分積分は、
x → 0 のとき sin(x) / x → 1
ということに基づいて話を進めていました。

それから考えると、
確かに度数法の方を使っては収束する値も複雑になってしまいますし、
質問で定義したrad'を使って計算したとしても、
微積のたびに係数が飛び出てくるようになってしまいますね。

そのようなことから考えて、
微分積分をした時に便利に扱える弧度法が合理的ということで、
数学ではｘに代入されるのは弧度法、ということでいいでしょうか？

回答No.4

Tacosan

cos(π)＝cos(180°)＝-1 は全く問題ないですよ＞#3. SI で, ちゃんと
1° = (π/180) rad
と与えられています. つまり
・「値として」は「π と 180 は違う」
・「角度として」単位を付加すれば π rad = 180°
です. これは, ちょうど
・「値として」は「1 と 100 は違う」
・「長さとして」単位を付加すれば 1 m = 100 cm
とパラレルです.

お礼

回答ありがとうございます。

補足

物理的な考えでは、

メートル→センチメートルには、100という定数をかければよくて
度→ラジアンには、 π/180という定数をかければよくて

どちらを使うか状況に合わせて、うまいことやれば問題ないのですね。

回答No.3

noname#221368

#1さんが仰るように、角度は無次元量（無単位）です。それは相似な図形を考えればわかるように、角度を挟む辺の長さ（単位mで無次元でない）と角度の大きさは、無関係ですよね？。ただ単位角度の決め方は色々あるわけで、弧度法は、円弧の弧長＝半径となる時の角度を「1」と「決めた」わけです。だって角度は円で定義できるじゃないか、という発想です。

　で、radは何なのかと言えば、実用単位と呼ばれるもので、物を数える時の1個，2個の「個」と同じ類のもので、物理単位ではありません。個数は整数ですが、整数には本来単位はないですよね？。「個」も実用単位です。量にはやっぱり、その数値が用いられる状況を反映した名前がなくちゃ間違えやすいよね？、という発想です。2というだけじゃ、2rad（角度）なのか2個（個数）なのかわからん、というわけです。よって、radも°も書かない方が、理屈には合います。radや°を挿入するのは、習慣にすぎません。

　話はそれますが、電池の電圧を表すVoltも最初は実用単位で、実は直列につないだ電池の個数を表すだけでした。こういう事は良く起こります。その後電圧は、単位電荷あたりの静電エネルギーを表す事がわかって、Volt＝J／Cとなり、物理単位への仲間入りを果たします。

　f(x)＝x・cos(x)についてですが、xを角度とすると、fが角度から角度への関数でもない限り物理では、こういう事は稀です。f(x)＝k・x・cos(x)と比例定数kが必ず付いて、kの単位が左辺の物理単位を保持します。でも、たま～に、k＝1mみたいなしょうもないケースもあります。この時はしょうがないので、f(x)＝cos(x)×1mなんていう、無様な形を使ったりします。

　対数関数や指数関数でも同じです。ここではxは長さmの次元を持つとします。そうすると、f(x)＝k・log(x)ような式を得た時には、しくじったと思います。logの中身は必ず無次元でなければならず、基準長さLなどがあり、f(x)＝k・log(x/L)などが正しい姿だからです。

　最後に、cos(π)＝cos(180°)＝－1なんて、けっこう平気でやりますが、慣習的に許されてるだけで、厳密には間違いです。値としてπ≠180なのだから、「同じ関数」cosでは、－1＝cos(π)≠cos(180°)が本来です。新しい関数記号Cosを使って、cos(π)＝Cos(180°)とでもするのが本当です。このとき、関数Cosの定義は、

　　Cos(x)＝cos(x/180・π)

となります。

お礼

ありがとうございます。分かりやすいです。

回答No.2

久保 泰臣（@omi3_）

ｆ(x)を、 f(x) = x cos(x) と定めた場合、
xの単位はrad です。 科学では、rad を使います。

結果を度数法で表すなら、180/πを積します。
ですので、
f(π) = π cos(π) ≒ 3 rad ≒ 180°です。

f(180) = 180 cos(180) = -180
は間違っています。
180は度数法なので、π/180を積して代入しなければなりません。

例えばパチンコ屋などの看板の最大電力を計算するとき、
0.02A*3V*3色*640列*480行=55kw
と単位を記入すると分かり易いです。

数学もプログラム言語も、単位を記入すべきですよね。
「我々だけが理解できればいいのだ」では、
社会から剥離していくと思います。

秋山仁先生が良いですよね。

お礼

回答ありがとうございます。

補足

x cos(x)のxには弧度法による値を代入するもので、
f(180) = 180 cos(180) = -180が間違っている、
ということは理解しているつもりなのですが、

どうしてそういうことにしているのか、
その理由がよく分からない、ということです。

あと、すみません、僕はよく知らないのですが、
秋山仁先生が何かおっしゃっているのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

無駄に物理的に考える試み:
SI において「角度」は「半径に対する弧長の比」として定義しており, その単位として「ラジアン」という名称と記号「rad」を与えています. 「長さ同士の比」ですから「角度」は次元を持たない (あるいは 1 という次元を持つ) 量です.

視点を変えると
「rad」を省略するというのは間違いで, 次元を持たないから本来は書かなくていい単位記号 rad を (「ただの数値」と「物理量」とを明確に区別するために) 書いている
と言うこともできるでしょう.

ついでにいうと「°」という単位は
1° = π/180 rad (= π/180)
と定義されています.

お礼

回答ありがとうございます。

補足

物理的には、
度数法では角度という次元をもっているから
同単位の比（無次元数）で表せる、
弧度法という考え方のほうが合理的ということですよね。。。