外径a、内径bの厚い半球殻の重心

質問

タイトルのとおりです。答えは3/8*(a^4-b^4)/(a^3-b^3)
なのですが、どう計算しても合わないのです。
極座標で解くのは既知ですのでいいのですが、
私はx,yで解いている途中でこまってしまいました。
いつもどおり微小断面積×微小厚さに重力がかかると考えて
おのおのに距離を掛けてモーメントの和を積分で表そうとしました。

半球殻の底面の中心を0、微小体積までの距離をxとして

モーメントの和＝π∫[0→a]{x(b^2-x^2)-x(a^2-x^2)}dx
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+π∫[a→b]x(b^2-x^2)dx

あとはこれを2/3*π(b^3-a^3)で割れば重心が出ると考えたのです。

つまり区間を分けて、[0→a]ではリング状の微小体積、[a→b]では円の板の微小体積として積分したのです。
この式の立て方は間違っていますでしょうか。計算すると微妙に係数が違ってしまってこまっているのです。
わかる方ご教授願います。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

式はaとbが逆になっていることを除いては正しいと思います。

私が計算したところ結果は上にかかれたものと同じになりました。
どのような計算をしたら違う答えが出てきたのか教えてください。

お礼

同じになったということで、
落ち着いて計算したら合いました。
わざわざ計算していただいてありがとうございました。
感謝いたします。