統計です・

質問

統計学の質問ですがお願いします。
母集団全体における内閣支持率をｐ（ｐは未知定数）とする。母集団から無作為に抽出し、支持する場合は「１」、しない場合は「０」と変数Xに記録する。

１、Xは確率変数である。Xの確率分布を求めよ。
２、Xの期待値と分散を求めよ。

無作為抽出をｎ回独立に復元抽出で繰り返したとする。この無作為標本から得られた回答を上記と同様にX1、X2、…Xnに記録したとする。

３、S＝X1＋X2＋…＋Xnとすると、Sはなにを意味するか答えろ。
４、Sの期待値と分散を求めよ
５、X_（←エックスバーです）＝S/ｎと定義する。X_は何を意味しているか答えよ
６、X_の期待値と分散を求め証明過程を説明せよ。
７、X_の2シグマ区間をもとめよ

回答No.1

muturajcp

(1)
P(X=1)=p
P(X=0)=1-p
Xは2項分布B(1,p)に従う
(2)
EX=p
だからXの期待値はp
EX^2=p
VarX=EX^2-p^2=p(1-p)
だからXの分散はp(1-p)
(3)
Sは標本中の支持数を意味する
(4)
標本n個の内k個が1,(S=k)である確率
P(S=k)=(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k}だから
Sの期待値をESとすると
ES=Σ_{k=1～n}P(S=k)k
=Σ_{k=1～n}k(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k}
k(nCk)=kn!/{k!(n-k)!}=n(n-1)!/{(k-1)!(n-1-(k-1))!}=n{(n-1)C(k-1)}
だから
ES=npΣ_{k=1～n}{(n-1)C(k-1)}(p^{k-1})(1-p)^{n-1-(k-1)}
=npΣ_{j=0～n-1}{(n-1)Cj}(p^j)(1-p)^{n-1-j}
=np

ES^2=Σ_{k=1～n}P(S=k)k^2
=Σ_{k=1～n}(k^2)(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k}
=Σ_{k=1～n}k(k-1)(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k}+Σ_{k=1～n}k(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k}
=n(n-1)p^2Σ_{k=2～n}{(n-2)C(k-2)}(p^{k-2})(1-p)^{n-2-(k-2)}+np
=n(n-1)p^2+np
だからSの分散をVarSとすると
VarS=E(S-np)^2
=ES^2-(np)^2
=n(n-1)p^2+np-(np)^2
=np(1-p)
(5)
X_は標本中の支持率を意味する
(6)
標本n個の内k個が1,(X_=k/n)である確率は
P(X_=k/n)=(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k}=P(S=k)
で
ES=Σ_{k=1～n}P(S=k)k=np
ES^2=Σ_{k=1～n}P(S=k)k^2=n(n-1)p^2+np
だから
X_の期待値をEX_とすると
EX_=Σ_{k=1～n}(k/n)P(X_=k/n)
=Σ_{k=1～n}kP(S=k)/n
=ES/n
=np/n
=p

EX_^2=Σ_{k=1～n}P(X_=k/n)(k/n)^2
={Σ_{k=1～n}P(S=k)k^2}/n^2
=(ES^2)/n
={n(n-1)p^2+np}/n
=p{p(n-1)+1}/n
だからX_の分散をVarX_とすると
VarX_=E(X_-p)^2
=EX_^2-p^2
=[p{p(n-1)+1}/n]-p^2
=p(1-p)/n
∴
X_の期待値は
p
X_の分散は
p(1-p)/n

7
σ^2=p(1-p)/n
だから
σ=√{p(1-p)/n}
だから
X_の2σ区間は
[p-2σ,p+2σ]=[p-2√{p(1-p)/n},p+2√{p(1-p)/n}]