数IAの問題 2a-b/2の範囲について

質問

看護学校の入試の過去問です。下記の問題の回答は、－6≦2a-b/2≦3になるようなのですが、なぜこの答えになるのか、わかりません。どなたか、解答方法を教えてください。

問題
a,bが－1≦a≦２、2≦b≦８の範囲であるとき、２a－b/2(２ぶんのb)はどの範囲の数になりますか。

回答No.1

Dr-Field · ベストアンサー

両辺に正の数を掛けても、不等号の向きは変わらない。
両辺に負の数を掛けると、不等号の向きが変わる。
両辺に同じ数(これは正の数でも負の数でも構わない)を足しても、不等号の向きは変わらない。

以上3つの性質を使います。

－1≦a≦２　→　-2≦2a≦4　・・・(1")
2≦b≦８　→　-8≦-b≦-2　→　-4≦-b/2≦-1　・・・(2")

(1")の各項に(-b/2)をそれぞれ足すと以下の不等式になる。
　　　↓
(-2)+(-b/2)≦(2a)+(-b/2)≦(4)+(-b/2)

ここで、左の項の(-2)+(-b/2)については、(2")より(-4)+(-2)≦(-b/2)+(-2)である。
また、右の項の(4)+(-b/2)については、やはり(2")より(4)+(-b/2)≦(4)+(-1)

だから、
-6≦(-2)+(-b/2)≦(2a)+(-b/2)≦(4)+(-b/2)≦3となり、「－6≦2a-b/2≦3」が証明された。

やや回りくどいですね。
a<bかつc<dならば、a+c<b+dも成立する事がわかればもっと簡単かな。

お礼

補足説明を下さったおかげで大変わかりやすかったです。
とても役にたちました。どうもありがとうございました！

回答No.2

spring135

グラフをかけなければこの答えとその意味は分かりません。

ab平面に－1≦a≦２、2≦b≦８となる長方形の領域を図示してください。

この領域を通る直線p=2a-b/2,すなわちb=4a-2pを書くことを考えます。

この直線は傾きが4の直線でこれを平行移動しながらpの値がどう変化するかを調べます。

この直線とｂ軸の交点が-2pということは分かりますか。

結論を言うと点(2,2)を通るとき、すなわちa=2,b=2のときpは最大値3をとり、

点(-1,8)を通るとき、すなわちa=-1,b=8のときpは最小値-6をとります。

お礼

簡潔で分かりやすい説明をどうもありがとうございます。とても参考になりました！