|(x-a1)/b1|>|(x-a2)/b2|を満たすｘの範囲(a1<a2,0<b1<b2)

質問

答えのない過去問研究中です。
数直線から明らかに
ｘ＞(a1+a2)/2
になりましたが、ｂが関与していないので不安になりました。合っていますでしょうか？

回答No.2

debut · ベストアンサー

絶対値があるので、x<a1　と　a1≦x<a2　と　a2≦x　の３通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
　b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方［x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x］を使い
ます。
１．x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
　　　－b2(x-a1)>－b1(x-a2) →両辺に－１をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
　　　これを解いて、　x<(a1b2-a2b1)/(b2-b1)　・・・（１）
　　　ここで　a1 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると
　　　両方に(b2-b1)をかけた式で　a1(b2-b1)－(a1b2-a2b1)＝-a1b1+a2b1
　　　＝b1(-a1+a2)>0 となるので　a1>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となります
　　　したがって、ここでの解は（１）の解でよいことになります。
２．a1≦x<a2 のとき・・・x-a1は正、x-a2は負だから
　　　b2(x-a1)>-b1(x-a2)
　　　これを解いて、x>(a1b2+a2b1)/(b1+b2)
　　　ここで、１．のときと同様にして　(a1b2+a2b1)/(b1+b2)　とa1,a2
　　　との大小関係を考えると、省略しますが、
　　　　　a1<(a1b2+a2b1)/(b1+b2)<a2 となり、
　　　ここでの解は　(a1b2+a2b1)/(b1+b2)<x<a2・・・（２）
３．a2≦x のとき・・・x-a1もx-a2も正だから
　　　b2(x-a1)>b1(x-a2)
　　　これを解いて　x>(a1b2-a2b1)/(b2-b1)
　　　同様に　a2 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると、また
　　　省略しますが　a2>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となり
　　　ここでの解は　a2≦x・・・（３）

以上、（１）～（３）が解となります。
各場合について、数直線をかいて考えるといいでしょう。

お礼

詳しく解説していただいてありがとうございます。
絶対値の場合分けのしかたなど良くわかりました。がんばります。

回答No.1

eatern27

間違ってます。

例えば、
a1=0,a2=3
b1=1,b2=2とすると

不等式は|x|>|x-3|/2となりますが、
これの解は、x<-3,2<xです。
x>3/2ではありません。

ちなみに、ｘ＞(a1+a2)/2が解となるのは、b1=b2の時です(b1<b2からこの可能性は排除されているが)

また、|(x-a1)/b1|>|(x-a2)/b2|はちょっと変形すれば、２次不等式になりますので、考えてみてください。

お礼

なるほど！よくわかりました。
反例まで示していただきありがとうございます。