平面図形の問題です。解法を教えてください。

質問

平面図形の問題です。解法を教えてください。

図を説明します。

三角形ABCに円が外接しています。
頂点AからBCに垂線AHを引きます。
AH=1、BH=2、CH=3のとき、

(1)三角形ABCの外接円の半径を求めなさい

(2)∠BACの大きさを求めなさい

問題文から、さらにAB=√5、AC=√10が分かるのですが、それだけしか分からず手詰まり状態です。
解法を教えてください。
※高校数学ではないです。三角比(sin,cos,tan)は使用不可です。

回答No.2

Hyokko_Lin · ベストアンサー

(1)
頂点Cから外接円の中心Oを通る直線を引き、外接円と交わるもうひとつの点をB'とする。
?ABHと?CB'Aにおいて、
弧ACに対する円周角なので、∠ABC=∠ABH=∠AB'C……(1)
仮定より、∠AHB=90°
直径に対する円周角なので、∠CAB'=90°
よって、∠AHB=∠CAB……(2)
(1)、(2)より、2組の角がそれぞれ等しいので、?ABH∽?CB'A
対応する辺の比より、
AH:AB=CA:CB'
1:√5=√10:2R
よって、R=(5√2)/2

(2)
CからABの延長に下ろした垂線の足をH'とする。
?BAHと?BH'Cにおいて、
∠B共通……(1)
仮定より、∠BHA=∠BH'C=90°……(2)
(1)、(2)より、2組の角がそれぞれ等しいので、?BAH∽?BH'C
H'C:H'B:BC=1:2:√5、BC=√5なので、
H'C=√5、H'B=2√5
よって、AH'=√5となる。
ここで、?AH'Cは、∠AH'C=90°、AH'=BH'=√5の直角二等辺三角形なので、
∠H'AC=45°
よって、∠BAC=180°-∠H'AC=135°

中学生向けの証明もどきで書いてみました。
高校数学（正弦定理と余弦定理）が使えれば楽なんですがね……。

分かりづらいようでしたら、図にしてアップします。

回答No.3

htms42

ＡＨの延長線と外接円との交点をＤとします。
ＢＤ，ＣＤを引きます。
∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ（円周角）
∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ（円周角）
→　△ＡＢＨ∽△ＣＤＨ
→　ＨＤ＝６
ＡＤの中点をＭ，ＢＣの中点をＮとします。
外接円の中心Ｏは辺の垂直２等分線の交点です。
ＯＭ⊥ＡＢ，ＯＮ⊥ＢＣです。
ＯＭ＝１／２、ＯＮ＝５／２
→ＯＮ＝ＮＣ＝５／２
→ＯＣ＝(５／２)√２

ＢＣ＝５，　ＢＮ＝ＣＮ＝ＮＯ＝５／２
→∠ＢＯＣ＝∠Ｒ＝２∠ＢＤＣ
∠ＢＣＤ＋∠ＢＡＣ＝１８０°

∠ＢＡＣ＝１３５°

回答No.1

spring135

∠BAH=α、∠CAH=α’、∠ABC=β、∠BCA=γとする。
sinγ＝1/√10,sinα=2/√5,cosα=1/√5,sinα’=3/√10,cosα’=1/√10
(1)三角形ABCの外接円の半径Rは正弦定理から
AB/sinγ＝2R
R=√5√10/2＝5√2/2
(2)∠BAC＝α+α’、加法定理より
sin∠BAC=sin(α+α’)=sinαcosα’+cosαsinα’=(2/√5)(1/√10)+(1/√5)(3/√10)
=1/√2
∴∠BAC=π/4

補足

あの…三角比は"不可"です；；；

これ、高校入試の問題なんですよ

なので、sinとか使えないです