絶対値の表記を使った規則

質問

テキストに唐突に次のような規則が出てきて、説明が載っていません。意味するところが理解出来ているか教えていただけるでしょうか。

(1)｜ab｜=|a||b|

左辺は、axb（例えば5×-3）を絶対置化したものと考えてよいのでしょうか。すると、公式の意味するのは、掛け算後に絶対置化した数値（左辺）は、絶対置×絶対置（右辺）と等しいということでしょうか。

(2)-|a|≦a≦|a|

この規則の言わんとするところがよくわかりません。-|a|とは絶対置に－１を掛けたものでしょうか。あるいは、絶対置は＋－を問わない数値と定義されると思うのですが、このことと上の規則は関連があるのでしょうか。|3|は－3と＋3の可能性がありますが、そうすれば|3|＜3≦|3|が成立すると思うのですが、規則とは別の形をしています。

あまりにも無知な質問ですが、説明していただければ大変ありがたいです。

回答No.5

f272 · ベストアンサー

> 絶対値が3になるのは、数直線上の-3以上+3以下ということですね。

-3≦3≦3
これは3は-3以上で3以下と言っているに過ぎない。
-3≦-3≦3
これも-3は-3以上で3以下と言っているに過ぎない。

> -|-3|≦-3≦|-3|の真ん中の部分は、絶対置が-3であることを示すと思う

そんなことは示していない。
-|a|≦a≦|a|
でa=-3を代入しただけです。
|-3|=3なのだから，それにマイナスの符号をつけたら-|-3|=-3です。

なんだか式に自分勝手な意味を付加して混乱しているように思える。
式の変形は意味など考えなくても形式的にできるんだよ。それが数式を使う最大のメリットです。

> また、-|-3|≦-3≦|-3|から-3≦-3≦3の変形では次のような１番目と３番目の項の入れ替えが行われているのでしょうか？

そんなことができるわけがない。

お礼

|3|＝3で、|-3|＝3ですよね。
その流れで、-|a|≦a≦|a|の真ん中のaは左右の項の絶対値記号を外したものと解釈していました。
だから真ん中のaに－の符号がつくのが理解できなかったのですが、
おかげさまで理解できました。
ご親切にご返答いただきありがとうございました。

回答No.6

alice_44

←A No.3 補足
＞ 後者の場合は、絶対値がマイナスになっている

そんなわきゃあないでしょう！

｜-3｜= 3 だからこそ、-｜-3｜ ≦ -3 ≦ ｜-3｜ が
-3 ≦ -3 ≦ 3 になるのです。

a の絶対値とは、｜a｜ のことであり、
-｜a｜ と ｜a｜ で挟まれた何か のことではありません。

式は、雰囲気で読んで文芸的な意味づけをするのではなく、
そこに書いてあることだけをソノママ受け取らねばいけない。

お礼

|3|＝3で、|-3|＝3ですよね。
この考え方を適用して、-|a|≦a≦|a|の真ん中のaは左右の項の絶対値記号を外したものと解釈していました。
だから真ん中のaに－の符号がつくのが理解できなかったのですが、
おかげさまで理解できました。

説明していただけたことには感謝しておりますが、
「式は、雰囲気で読んで文芸的な意味づけをするのではなく」という言い方に棘を感じました。
なんとか厳密に理解しようとしていたので、いっそう残念でした。

回答No.4

f272

> |3|という表記を僕は、絶対値が３になる数字と考えて、|3|＝＋3、-3と考えていたのですが、もしかしたら間違っているでしょうか。

そのとおり、間違っている。

> |3|は＋３の絶対置、|-3|は-3の絶対置という意味で、|3|＝3、かつ|-3|＝3という風に考えるのでしょうか。

その通り。

-|a|≦a≦|a|
はa=3のときなら
-|3|≦3≦|3|
つまり
-3≦3≦3
を意味しているし、
a=-3のときなら
-|-3|≦-3≦|-3|
つまり
-3≦-3≦3
を意味している。

補足

どうもありがとうございました。

おかげさまで理解出来てきました．

下の式の意味は分かりました。

　-|a|≦a≦|a|
　はa=3のときなら
　-|3|≦3≦|3|
　つまり
　-3≦3≦3
　を意味しているし、

絶対値が3になるのは、数直線上の-3以上+3以下ということですね。

しかし下の説明がまだ分かりません。

　a=-3のときなら
　-|-3|≦-3≦|-3|
　つまり
　-3≦-3≦3
　を意味している。

-|-3|≦-3≦|-3|の真ん中の部分は、絶対置が-3であることを示すと思うのですが、そういう意味になる訳はないと思うのですが・・・。
また、-|-3|≦-3≦|-3|から-3≦-3≦3の変形では次のような１番目と３番目の項の入れ替えが行われているのでしょうか？

それぞれの項に番号をつけて-|-3|(1)≦-3(2)≦|-3|(3)
とすると
|-3|(3)≦-3(2)≦-|-3|(1)
となり、-|-3|は|３|になる。

何度もご質問して本当に申し訳ありません。

回答No.3

alice_44

落ち着け。|3|＜3 が成立する訳がない。
|3|＝3 なんだから。

-|a|≦a≦|a| に a＝3 を代入すれば -3≦3≦3 だし、
a＝-3 を代入すれば -3≦-3≦3 になる。

|3|＜3 と違って、3≦3 は成立している。
a≦b ⇔ (a＜b または a＝b) なんだから。

補足

ご返答ありがとうございました。
おかげさまで大分分かってきました。

　＋３と-3の絶対値を|3|と記すと考える、大きな勘違いをしておりました。

　-|a|≦a≦|a| に a＝3 を代入すれば -3≦3≦3 だし、
　a＝-3 を代入すれば -3≦-3≦3 になる。

a＝3を代入する、a＝－3を代入するとのことですが、前者は理解できます。絶対値が３ならば、それは数直線上の-3以上＋3以下ということですよね。後者の場合は、絶対値がマイナスになっているように見えるのですが、それでもいいのでしょうか？

もう少しだけ説明していただけると大変ありがたいです。

回答No.2

k_kota

１
基本的にはあってます。
文字の乗算は記号なしで表記します。

２
これもだいたい合ってるのですけど
＞|3|は－3と＋3の可能性がありますが
aは正の値も負の値も取るという事を言いたいのですよね、でも言えてないというのは理解して下さい、数学に曖昧さは要りません。

んで、勝手に等号取ってよいでしょうか。
適当な正の値と負の値を入れてみて下さい。
常に成り立つと証明できてないと法則として使えません。

ちなみに、この手のものは変数が正の数か負の数かで変わる可能性がありますので、出てくる文字全てについての正の数、負の数のパターンで計算してみて下さい。
そうすると納得行くかと思います。
ようするにa＞0とa<0で計算する、bがあれば4パターンの組み合わせでやってみる、ということです。

絶対値と文字式の理解ができてないとここでつまづきますので、上記はやったほうがいいでしょう。

補足

絶対値の表記法に関して、ひどい勘違いをしておりました。

3と-3の絶対値を|3|という風に記すのだと誤って理解していました。

a＞0とa<0で計算する

とご説明いただきましたが、この場合のaとは
-|a|≦a≦|a|という式でしたら、両端の実数の部分を
+－のそれぞれで計算せよ、ということでしょうか。真ん中のaは絶対値を示しているので、
決して－にはならないと考えてよろしいでしょうか。

この点に関しましてもお答えいただければ大変ありがたいです。

回答No.1

f272

> 絶対置は＋－を問わない数値

絶対値は符号をとりはらった数値で、必ず正の値です。

> |3|は－3と＋3の可能性があります

|3|=3であり、|-3|=3です。

補足

ご返答ありがとうございました。

残念ながら、理解の悪さゆえにまだ理解できないでいます。

ただ、根本的な勘違いをしている可能性に気がつきました。

|3|という表記を僕は、絶対値が３になる数字と考えて、
|3|＝＋3、-3と考えていたのですが、もしかしたら間違っているでしょうか。

|3|は＋３の絶対置、|-3|は-3の絶対置という意味で、
|3|＝3、かつ|-3|＝3という風に考えるのでしょうか。

再度、ご返答いただければ大変ありがたいです。