数と式

質問

部分でわからないところがあってお願いします
(1)
0<a<3のとき、√(x＾2+4a+4)+√(a＾2-6a+9)の値を求めるで
√(x＾2+4a+4)+√(a＾2-6a+9)
=√(a+a)＾2+√(a-3)＾2
=|a+2|+|a-3|
までは理解できるのですが

(i)a>0より、a+2>0
(ii)a<3より,a-3<0
の理解がわかりません。

(2)
|a|+|b|≧|a+b|
=(|a|+|b|)＾2-(a+b)＾2
=2(|ab|-ab)
までは理解ができたのですが、
|ab|≧abより
(左辺）＾2ー（右辺)＾2≧0
の意味が理解できません。

回答No.3

fushigichan

＃２です。

＞a≧0のときは、｜a|=aはいいのですが、
a<0のときがよくわかりません。
どうして、|a|>aになるのでしょうか？

これは、絶対値の定義そのものですね。
つまり、aが、どんな数であっても、＋であろうがーであろうが
＋にしちゃう、という約束事です。

a=1としましょう。
|a|=|1|=1ですから、|a|=aです。

a=-3としましょう。
|a|=(-3)|=3ですから、これは、a=-3よりも大きいです。

つまり、絶対値の中身が、正の数であれば、それは、そのまま外せますが、
絶対値の中身が負の数だったら、絶対値をつけたものは
当然、負の数よりも大きいですよね？

|a|=|(-3)|=3 > (-3)=a

この辺は、考えるとごちゃごちゃしてしまう場合には
「絶対値はつけると、必ずマイナスのものはプラスになるから、大きくなるんだなあ」
とイメージで覚えておけばいいと思います。
頑張ってください。

回答No.2

fushigichan

ai402さんこんにちは。
途中まで理解できているみたいなので、あと一息ですね！

＞(1)
0<a<3のとき、√(x＾2+4a+4)+√(a＾2-6a+9)の値を求めるで
√(x＾2+4a+4)+√(a＾2-6a+9)
=√(a+a)＾2+√(a-3)＾2
=|a+2|+|a-3|
までは理解できるのですが

(i)a>0より、a+2>0
(ii)a<3より,a-3<0
の理解がわかりません。
-----------------------------------------
まず、(i)a>0より、a+2>0 ですが、aは今、０以上だという条件が最初にありましたよね？
0<a<3の部分がそうです。
ですから、0以上のものに、２を加えたものは、２以上ですから
a>0ですからa+2>2となるので、当然a+2>0がいえています。
だから、|a+2|=a+2
と絶対値の中身が正なので、そのままはずれます。

(ii)a<3より,a-3<0
こちらも一緒のことです。
最初に0<a<3という条件がありますから、aは３未満です。
a<3の両辺から３を引いても等号は成り立っていますから
a-3<3-3=0
つまり、a-3<0
となるので、
|a-3|=-(a-3)=-a+3
と絶対値の中は、符号を逆にしてはずれます。

＞(2)
|a|+|b|≧|a+b|
=(|a|+|b|)＾2-(a+b)＾2
=2(|ab|-ab)
までは理解ができたのですが、
|ab|≧abより
(左辺）＾2ー（右辺)＾2≧0
の意味が理解できません。
---------------------------------------------
ここで左辺というのは、|a|+|b|ですね。
右辺というのは、|a+b|
左辺＾２ー右辺＾２＝(|a|+|b|)^2-(|a+B|)^2
=(|a|+|b|)^2-(a+b)^2
=|a|^2+|b|^2+2|a|b|-|a|^2-|b|^2^2ab
=2(|a||b|-ab)

ここで、|a|≧a
|b|≧b
というのは、どんな実数a,bについても成り立っています。
（絶対値の定義です）
例えば、|-1|=1>(-1)ですし、|2|=2=2
なので、どんなときも|a|≧a
|a|≧a
|b|≧b
--------掛け合わせると
|a||b|≧ab
となりますね。
だから、（☆）において、|a||b|-ab≧0
がいえるので、不等式が成り立つことがいえます。
頑張ってください！！

補足

|a|≧aについてもうすこし、詳しく聞いてもいいですか？
a≧0のときは、｜a|=aはいいのですが、
a<0のときがよくわかりません。
どうして、|a|>aになるのでしょうか？

回答No.1

neue_reich

(i)a>0より、a+2>0（両辺に２を足すと正しいことがわかるはずです）
(ii)a<3より,a-3<0（両辺から３を引くと正しいですよね）
は、
=|a+2|+|a-3|
の絶対値記号に対して使う条件だと思います。

（２）は両辺を２乗して、右辺を移項したものですか？
もしそうならば、
⇒　(|a|+|b|)＾2-(a+b)＾2≧0
⇒　2(|ab|-ab)≧0
としないとわけがわからなくなりますよ。

ちなみに、
|ab|≧ab　より　|ab|-ab≧0
ですね。