積と和は双対？

質問

加藤文元『宇宙と宇宙をつなぐ数学』に、積と和には、ゆるゆるの緩い関係しかない、と書いてありますが、本当にそうでしょうか。
超曲面 ｙ＝Πｘi グラフと、超平面 ｙ＝Σｘi グラフの間に全単射は有り得ないでしょうか。
また、(a+1)(b+1) = (a+b) + (ab+1) で、ab と左辺、ab と右辺第２項には全単射が有りますのに、ab と右辺第１項には無いでしょうか。

回答No.3

masudaya · ベストアンサー

No2の回答のように,積と和では全単射になりません．
ただ
超平面はベクトル(x1,x2,・・・,,xn)と(1,1,・・・,1)の内積と書けますから,(x1,x2,・・・,,xn)で特徴付けられる面になります．
同様に,超曲面も(x1,x2,・・・,,xn)で特徴付けられる面です．
なので(x1,x2,・・・,,xn)→(x1,x2,・・・,,xn)との対応が可能でその意味で全単射となります,
決してここの値でΠxi→Σxiという事ではありません．
もしかして,超平面も超曲面もパラメータは全て1という意味でしょうか．それでは対応は取れません．
キチンと書くと,座標を(x1,x2,・・・,xn)として超曲面を
y=Πaixiとする．同様に超平面をy=Σbixiとすると．
超曲面はパラメータ(a1,a2,・・・,an)で表現される集合となる．同様に超平面もパラメータ(b1,b2,・・・,bn)で表される集合．
一つの超曲面y=Πaixiに対して,超平面y=Σaixiを対応させると,(a1,a2,・・・,an)→(a1,a2,・・・,an)
という同型写像になりますので,これは全単射になります．
つまり,1つ超曲面を決めると1つ超平面が決まるという写像になります．
(全単射である事から逆に超平面から超曲面も決まります．)
各超曲面の座標からそのy座標に等しい超平面の座標に写像するのは,前の例の通りできないと思います．
どちらについても,ある一つのy座標に対する座標(x1,x2,・・・,xn)が無数にあるためです．

ご理解いただけましたでしょうか．
この話しは大学の初年級でやる話しなので,その当たりの教科書
(多分,線型代数)を確認されてはいかがでしょうか．

お礼

誠に有難う御座いました。

回答No.2

masudaya

＞２つ目の問いは、a　→　a+1, 　b　→　b+1　という全単射から、ab　→　右辺全体　＝　(a+1)(b+1)　という全単射が有り、且つ、右辺のうち、ab　→　右辺第２項　=（ab+1)　という全単射がありますので、ab　→（右辺全体 ー 右辺第２項）＝　右辺第１項　＝　a+bの全単射が有るのでは？、という問いです。

分かる範囲で回答します．
ab　→　右辺全体　＝　(a+1)(b+1)　という全単射
は存在を保証できません．
理由は以下になります．
例えば12=2×6=3×4なので
12=2×6 → (2+1)(6+1)=21
12=3×4 → (3+1)(4+1)=20
となり，同じ12の像が20と21との二つの値となってしまい
写像になっていないからです．
写像という関係においては,基の値の通常の演算が
像でも同じ演算になっているとは限りません．
具体的には
f(ab)≠f(a)×f(b)
f(a+b)≠f(a)+f(b)
となることもあるという事です．
このため
f: a →a+1
という写像はabとするとab+1であって
f(ab)=ab+1 ということで
f(ab)≠f(a)×f(b)となっている例になります．
この例はf(a+b)≠f(a)+f(b)の例でもあります．

二つの値の組を問題にする場合はR^2→Rの写像を考える必要があります．
この場合(a,b)→(a+1)(b+1)は写像で全射ではありますが,単射にはなっていません．

お礼

誠に有難う御座いました。

補足

それでは、積を和に全単射する写像の公式は如何なる物になりますでしょうか？次ので宜しいでしょうか？：
Σ（a[n])^(-1) = Σa[n] / Πa[n]
より、
Σa[n] = f (Πa[n]) = Σ（a[n])^(-1)＊Πa[n],
但し、ここで、
a[n] = Π(b[n[i] ]^n[i])＊Π(x[n[j] ]^n[j])
とする。

回答No.1

masudaya

その本を読んでいないので，見当外れかもしれませんが，

超曲面 ｙ＝Πｘi グラフと、超平面 ｙ＝Σｘi グラフ
は，係数の組み合わせをベクトルとらえれて，係数を実数とすれば，
係数の数が同じであれば，(x1，x2，x3，・・・・）→(x1，x2，x3，・・・・）
という写像は同型写像(同じベクトルなので当たり前)となるので
全単射は存在することになります．

2つめは，不勉強なためおっしゃっていることの意味が分かりません．

お礼

誠に有難う御座いました。

補足

２つ目の問いは、a　→　a+1, 　b　→　b+1　という全単射から、ab　→　右辺全体　＝　(a+1)(b+1)　という全単射が有り、且つ、右辺のうち、ab　→　右辺第２項　=（ab+1)　という全単射がありますので、ab　→（右辺全体 ー 右辺第２項）＝　右辺第１項　＝　a+bの全単射が有るのでは？、という問いです。