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除法

2006/11/14 12:48

考え方について教えてください。例1 ある整数で４５を割ると３余り、７１を割ると５余る。ある整数の求めかたで、この問題を解く方法は最大公約数を利用します例2 ３で割っても５で割っても６で割っても２余る２桁の自然数のうち最大のものは？この問題の解き方は最小公倍数を利用。〇問題によってどんな時に最大公約数、最小公倍数を利用するのか分かりません。例２で聞きたいのですが、求める自然数をxとし、３で割った商をa,５で割った商をb、６で割った商をcとすると x-2=3a x-2=5b x-2=6c 最小公倍数から30となりました。この後、どのように考えるのか分かりません。

suika_11
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数学・算数
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NIWAKA_0
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2006/11/14 14:25 回答No.7

ＸxＹ＝Ｚ　（Ｘ、Ｙ、Ｚは整数）のとき、・ＺはＸ、Ｙの倍数・Ｘ、ＹはＺの約数これはいいですか？＿例１最大公約数というより、「公約数」を使うんだと思うのですが・・・。＞ある整数で４５を割ると３余りつまり、４５から３を引いた数は「ある整数」で割り切れます。つまり４５－３＝４２は、「ある整数」の倍数です。もう一つも同様に、７１－５＝６６は「ある整数」の倍数になります。つまり、「ある整数」は４２と６６の共通の約数、すなわち公約数です。ですから、この二つの数の公約数を拾い出し、その組み合わせの中から適合する数を選び出します。「ある整数」は、必ず余りの数より大きくなることにも注意してください。例えば「ある整数で１２９を割ると３余り、２０３を割ると５余る。」これを満たす「ある整数」は、６，９，１８の３つあります。例２＞３で割っても５で割っても６で割っても２余る →求める数をＸとすると、「Ｘ－２」は、３の倍数であり５の倍数であり、また６の倍数でもある（＝３と５と６の公倍数）、ということです。（ここまではできていますね）＞最小公倍数から30となりました。あとは、「３０」の倍数で、「１００－２＝９９（←２桁なので）」以下の最大のものを選び出して、最後に２を足してあげればそれが答えです。

質問者

お礼 2006/11/18 16:24

丁寧な説明どうもありがとうございました。

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ccyuki
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2006/11/14 14:23 回答No.6

例1　ある数をxとして45を割った時の商をa、71で割った時の商をbとする。　　(割られる数)=(割る数)×(商)+(余り)　なので　　45=ax+3　　71=bx+5 　よって　ax=42，bx=66 　　ここで　a,b,x　はみんな自然数だから　　xは　42　の約数であり　しかも　66の約数でもある。　　　つまり　42と66の　公約数となる　　　また余りが　5なので　x≧6 　　　　　あてはまるものは　6 例2　途中からです。　　x-2=3a　x-2=5b　x-2=6c 　なので　x-2　は　3の倍数であり　5の倍数であり　6の倍数つまり　3,5,6　の公倍数　　すなわち　30,60,90,120,・・・・　２桁の自然数のうち最大のものは　90　となり　x-2=90　より　x=92 問題によってどんな時に最大公約数、最小公倍数を利用するのかは決まっていません。例１では　ax=42　という式から　xは　42　の約数である。　ということに気づくかがポイントであり例２では　x-2=3a　という式から　x-2　は　3の倍数である。　ということに気づくかどうかがポイントだと思います。

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noname#24129

2006/11/14 13:34 回答No.5

いずれにしても、 (割られる数)=(割る数)×(商)+(余り) に当てはめて式を作ることが出発点ですね。例2の問題は、 (割られる数)=(割る数)×(商)+(余り) (割られる数)-(余り)=(割る数)×(商) と変形しています。Ａ=Ｂ×Ｃの形で、ＡはＢの倍数。ＡはＣの倍数。また、ＢはＡの約数、ＣはＡの約数ということがいえます。この見方で、次の式を言葉にすると、Ｘ=3a→Ｘは3の倍数Ｘ=5b→Ｘは5の倍数Ｘ=6c→Ｘは6の倍数つまり、Ｘは3の倍数でもあり、5の倍数でもあり、6の倍数でもあめということから、Ｘは3と5と6の公倍数であるということが分かります。そして、公倍数を知るために、最小公倍数を求めるです。

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