連続固有値をとる固有ベクトルは何故Ｈ空間の元でない

質問

数学の板で質問したのですが、物理の問題と思われたのか、回答がないので、
こちらに質問します。
http://okwave.jp/qa/q7889089.html
です。
よろしくお願いします。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

うーん、連続固有値とその固有ベクトルの定義を聞いたのに具体例を示されてもどうしたらいいのか分からないのですが。

数学的に厳密に取り扱いたいというのがあるのなら、まずは「連続固有値」の定義を確認する所から始めた方がいいでしょう。直感的なイメージだけでしか知らないものを、数学的に厳密な扱いをするのは無理だと思います。

よくある定義を前提にすると、
普通の意味の「固有ベクトル」が(ヒルベルト空間の中に)存在するのならば、そもそも「連続固有値」には分類しないというだけの話になるはずです。

回答No.2

ojisan7

位置固有ケットの内積<x|x>が有限ではないということもありますが、それよりも、Ｈ空間は可算無限の次元を仮定しています。完備性どうのこうの、という以前に、連続固有値をとる空間は、連続体濃度の次元を持ちますから、数学的には極めてやっかいな取り扱いが必要になります。ですから、通常のＨ空間ではそのような「病的」な空間は対象外になります。

回答No.1

eatern27

その真意はそう指摘された方に聞くのが筋だと思いますが。(twitterなら直接聞けますよね？)

とりあえず
「連続固有値」
「連続固有値をとる固有ベクトル」
を貴方はどう定義していますか？

>ノルム＝自分自身との内積　と考えると、この値が、∞なら、元ではない
まぁ、物理をやる分には仰るような理解でも十分だと思いますけど、数学的にきちんと扱うと正しくないでしょうね。
ノルム(内積)はヒルベルト空間で定義されているものですから、ノルムの値がいくらになるかを論じるためには、事前にヒルベルト空間の元である事が確かめられていなければいけません。

お礼

僕は、ちょっと前まで　可分と可算無限の区別もつかないレベルで、
その方に質問した時、あきれられて
「数学的厳密性なんかにこだわらずに、もっと物理に専念しなさい」と言われて、
教えてくれませんでした。
おそらく、教えても理解できない　と思われたと思います。
そんなわけで、ここで質問しました。
で、連続固有値については、固有ベクトルでは、どう表現していいかわからないので、
一番簡単な例：波動関数f(x)と演算子ｘで考えると、
ｘf(x)＝ａf(x)
ａは、－∞から＋∞　の連続値をとり、その中の１つの値をＡとすると、
ｘ＝Ａ　で、固有関数は、f(x)自体。ｘ≠Ａ　で固有関数は０（なし）
この場合、連続固有値ａをとる固有関数は、
f(ａ)＝∫{－∞,＋∞}δ(ｙ-ａ）f(ｙ)dy
と思っています。