単位線分と長さ

質問

現在、数学カテで次の質問をしています。

http://okwave.jp/qa/q8124141.html

今のところ、納得のいく回答を得られないでいるので、哲学カテでも質問させてください。
なお、こちらをご覧になった方は、こちらで回答してください。

回答No.16

sheep67

NO6です。
14の方の回答など読んで質問の意味がわかったような。
単位線分の客観的長さを単位線分で測定して1と定めても意味があるのか？という風な。
まだ違うかもしれないですが。
後半ので合ってたみたいで。
以下質問に関係ないことも書いてるかもですが、思いつくままなので。

－－－数字が元々比にすぎない視点

長さや数字とは、2つの間の比であり、関係性かも。
なので本来単独の存在ではなく、比にすぎないし、2者の間の関係性です。
1以外の数字とは、比です。

そこで1はとなると、１は比とは言えないような気もします。
１は比によって決めたものでないので、他の数字と定義が違いますし。
だから比によらず定義される1とはえらく特別なものです。
1は、原点でかつ全てという意味もありますし。

14の方も言っておられますが、１は確かに超越的で、
数字＝比だと定義すると、1は数字じゃない気もします。

この辺り、抽象度の違いというか、物理と数学の違いというか・・

ーーー着目してる性質（長さ）以外を無視するかどうか？

思いついたんですが
単位線分と、長さ1の線分は同じものか違うものか？　という視点もあるかと。
数字の1が2個あったら、2つは違うものか同じものか？という議論もありですね。
物理なら、ある性質がともに1でも2つを別物として区別しそうですが、
数学では1が2個あったら、多分区別はしないような・・・気もします。

ーーー世界観

上の2つとも、数学か物理かの世界観の違いが効いてるような気がします。
自己言及は、空間的な大きさを必要とします。
自分から出た矢印が自分に帰ってくるために。
大きさが存在するためにはスペース空間が必要です。（時間もだけど）
1の長さが存在するために、その長さが存在するためのスペースが必要なのが物理ですし、
そんなスペースなどなくても、長さ1だけが単独で在れるのが数学かなとも思います。

質問者さんの、自己言及に違和感があるのは、物理的感覚で数学を見てるからかな？とちょっと思いました。
主体と客体があるためには自他との間の距離隔たりが必要です。
主客という言葉（測定の物差しとその対象という考え）はいかにも空間の広がりを前提としてますが、
でも数学ではそれは関係なく、もっと抽象的です・・・たぶん。

なので2つの世界観が錯綜してるのかもしれないです。
でも数字も、2つの物体の大きさを比較することから生まれたのなら、元々物理世界由来のものでしょうしー

大元として、物理と数学では何が違うのか？　というのが問題になってるのかな・・・という気も。
ちょっと苦しい話の展開で、なんかまとめ切れないですが。

お礼

ありがとうございます。
親身に考えてくださって感謝します。
参考になりました。

回答No.15

NemurinekoNya

こんばんはです。

☆基準を特定の長さに限定することは、一般的・抽象的な数学においては許されない、という意味でしょうか？
◇単位つき、例えば１メートルとしてもいいのだけれど、それだと、使用できる範囲が限定されてしまう。
a＝１メートル
b＝１平方メートル
これ、単位が違うから、
a=b
とはできないでしょう。
１メートルは１平方メートルじゃないから。
これだと、使い勝手が悪いじゃん。
メートルみたいな単位を持っていない、つまり、抽象的な数にした方が便利ってことだわさ。

お礼

ありがとうございます。
同意です。

回答No.14

mesenfants

単位線分はものを測る「基準」なのだから、
それに「測られ結果の数値」で表すのは、
いわばカテゴリー・ミステイクではないか、との疑問と理解します。

単位線分と「同じ長さの線分」を「１」というのはかまわないが、「長さ１の単位線分」とは「馬から落馬する」のと似た誤用ではないかと。
「１メートル」のリボンはあっても、「メートル」自体に「１も２もありはしない」というのと似ているかもしれません。

「１」や「２」などは「単位線分」との「比の値」とすれば、

単位線分を単位線分で割った値が「１」となり、すこしは違和感が解消するかもしれません。

「１」というには、まだ数字ではなく、数字が始まる「起点」とみなしても同じ効果があると思います。
（私には「１」を数字とみなすこと自体に不安があります）
「「１」はまだ数えていないではないか、「２」から数がはじまるような感じがするのは「１が否定され、分裂する」瞬間が数ではないのか、と）
つまり、「１」と「２，３，４……」とを同列に扱うことへの違和感です。
（これでは算数が始まりませんが）

単位線分は、長さに対して超越論的な地位にあるということも可能です。

「単位線分（と同じ長さの線分）は長さ１の線分である」と括弧を補うべきですが、慣用化されたのだと思います。

参考になれば。

お礼

ありがとうございます。
質問の趣旨を理解していただき感謝します。

＞「単位線分（と同じ長さの線分）は長さ１の線分である」と括弧を補うべきですが、慣用化されたのだと思います。

なるほど！
ようやく求めていた回答に出逢えた気がします。

回答No.13

NemurinekoNya

☆数学的な長さというのは、人が決めた長さの数値のことですかね？
◇はい。数学者が勝手にこしらえた人工的な存在です。

☆まず、「長さが１」の意味について、私は、「単位線分1つ分」だと認識していますが、ここはよろしいのでしょうか？
つまり、「長さが１」の１は、「単位線分１つ分」の１と同じだということです。
◇YES。

☆回答者様の説明では、「長さが１」の１は、数の１である必要はなく、AとかΦなどの任意の記号に変えても変わらないように思います。
◇全然、問題なしです。前提や公理に矛盾さえ生じなければ、数学的にはOKです。
ただし、物理学のメートルのようなものはダメです。

お礼

ありがとうございます。

＞ただし、物理学のメートルのようなものはダメです。

ここはどういう意味でしょうか？
基準を特定の長さに限定することは、一般的・抽象的な数学においては許されない、という意味でしょうか？
ならば納得です。

回答No.12

ukiyotonbo

＞単位線分とは長さが１の線分である、という記述をたまに見ますが、違和感があります。
＞単位線分自身について、長さ１という表現を適用することはできないのではないでしょうか？

違和感という主観的な感覚。

言語と論理、表現と解釈、理解と誤解、納得と違和感。共通認識と共感。

誤解があっても、そのまま納得されてしまうと、その人に違和感はない。

理解していても違和感がある人から新しい世界が展開する。そこは別世界。

お礼

ありがとうございます。

回答No.11

NemurinekoNya

あっ、ごめん、NO１０の回答に間違がある。
数学に哲学が混入してしまった（ポリポリ）。
NO１０にある１対１という言葉を全部とって。

最近、数学をやっていないからさ（と見苦しくイイワケする)。

お礼

ありがとうございます。

回答No.10

NemurinekoNya

お礼、ありがとうございます。

☆ようやく質問への回答を頂けて、嬉しく思います。
◇おろっ。ひょっとして、僕がこの質問になにか投稿するのを待っていたということ？

☆まず、確認したいのは、長さが１とはどういう意味か、ということです。
◇単位線分の長さです。数学的には、これで定義は十分です。
基準となるある線分が、０以上の実数へ１対１で写像されて、実数の１という数と等価とみなされます。〔基準となるある線分の〕長さは、この時、はじめて決まります。それ以前に、〔数学的な〕長さなるものは存在していません。それ以前に長さがあると思うことが間違いです。
そして、後は、その対応規則と、実数の公理や演算規則などに従うだけです。
なので、
この対応関係・全単射（１対１の写像）を認め、
実数や自然数の１×１＝１を認めれば、
単位線分の長さは１と認めなければいけない。
これ以外の値は取りえない。
数学的にいうとね。
数学、実際の世界と全然、関係ないもん。

☆回答者様の説明だと、長さ１の１が数ではなく、メートルのような概念になってしまうと思われるのですが、いかがでしょうか。
◇数学でいう単位は《identity》の訳語。メートルとかの単位は《unit》。
日本語だと同じ単位だけれど、意味が違います。
長さは〔０以上の〕実数です。
それ以上でも、それ以下でもありません。

お礼

ありがとうございます。

＞おろっ。ひょっとして、僕がこの質問になにか投稿するのを待っていたということ？

いえ、ようやく質問の趣旨を理解して頂けたと思ったんです。

＞それ以前に、〔数学的な〕長さなるものは存在していません。それ以前に長さがあると思うことが間違いです。

数学的な長さというのは、人が決めた長さの数値のことですかね？
ならば、もちろん、長さが人の認識と関係なく固有の数をもっている訳ではありませんから、仰る通りですね。

えーとですね。
なんがか、問題点を共有できていないような気がするんですよね。
私の説明が悪いんでしょうけど。

まず、「長さが１」の意味について、私は、「単位線分1つ分」だと認識していますが、ここはよろしいのでしょうか？
つまり、「長さが１」の１は、「単位線分１つ分」の１と同じだということです。
繰り返しになりますが、回答者様の説明では、「長さが１」の１は数の１ではなく、物理学のメートルのようなものではないかと思います。
すなわち、回答者様の説明では、「長さが１」の１は、数の１である必要はなく、AとかΦなどの任意の記号に変えても変わらないように思います。

回答No.9

noname#221368

長さを定量化する以前に、長さとその比較方法を認識する事は可能、と考える事はできる。2線分を、図形として重ねてみれば良い。

　そうすると「同一の長さの2線分」という、線分間に成り立つ2項関係（線分Ａ//線分Ｂ：平行のような）は、明らかに同値関係になるから、同値類Ｃ（集合）を定める。この集合Ｃは、「同一の長さの線分の全体」という性質Ｄで規定される集合と、一致する事も明らか。

　とりあえず数学では、内包（性質）は対応する外延（集合）から定義できる、と考える。これは、グラフＧ（y＝f(x)なる関係を満たす数値対（x，y）の集合）を一つ与えれば、関数y＝f(x)を与えたのと同じ、という発想といっしょです。

　さらに「同一の長さの2線分」という関係は同値関係なので、このようなケースでは、関係の述語に含まれる要素の性質（長さ）は、その外延集合Ｄが定義すると考える（数学では）。用語を流用してこういう時は、長さと集合Ｄを、同一視すると言います。

　従って長さは、個々の線分によって定義されるのではなく、同一長さの線分の集合が定める事になる。ここで注意すべきは、「同一長さの線分」に現れる単語「長さ」は、なんら数学的に定義されたものでなく、「同一長さの線分」という「用語全体」だけが意味を持ち、それは、「線分が図形的に重なる」という即物的状況（グラフ）に名前を付けただけ、とみなしている事です。つまりこれは用語の定義であって、意味の定義ではないと。

　以上の話は、概念の起源を考えればズボラ過ぎるのかも知れませんが、数学は上記のように、概念上の循環参照には応えずして、身を翻します。数学は本当は、徹底的に即物的なものだからです。それで普通は「そんな事、常識でわかれ！」と高圧的な態度にも成り得ます。数学にしてみれば、「なんの因縁かイチャモンか？」という感覚です(^^)。

　で、長さ比較の実際は、「同一長さが同値関係」なので、集合ＤやＤ’の要素を一個ずつ取り出して比較すれば良い事になります。Ｄ’の要素Ｌ’に、Ｄの要素Ｌがちょうど2個重なるなら、Ｄ’はＤの線分の2倍の長さの線分を集めた集合です。L’とLがぴったり重なるなら、Ｄ’＝Ｄであったという結論になります。同値関係なので、テストは一回でOKな訳です。

　ここまで来れば、何が単位長さ、単位線分かは、もはや（というか再び）用語の定義の（恣意的選択の）問題に過ぎなくなります。

　ふだんは（数学的にも）実用性がないので、こんな事は考えませんが、数学ではいちおうこうかな？、と思いました(^^；)。

お礼

ありがとうございます。

回答No.8

NemurinekoNya

☆長さの単位１と決まってる単位線分の長さをまた測るということは
単位系を変更したいという意味ですか？
◇自分自身で自分の長さを測れるのですか？
と質問者は質問しているワケ。
質問者は、「二項関係Ｒの反射律をアプリオリには認めないよ～」といっているワケです。

数学カテにおける同一質問のNO３
──────
＞単位線分は、単位線分の何倍ですか？

ここなんですよね。
１倍と答えたくなりますが、踏みとどまって考えてみたんです。
──────
「１倍と答えたくなりますが、踏みとどまって」
というのは、そういう意味。

allice先生は、反射律───この場合、１＝１───を認めている。
でも、
質問者は、これをアプリオリに正しいこととはしていない。
そういうこと。

お礼

簡潔にまとまて頂いて、ありがとうございます。

回答No.7

雪中庵（@psytex）

どのような長さであれ、それが認識体が規定するもので
ある限り、長さの最小単位（それ以上分割できない長さ）
であるプランクの長さの倍数に過ぎない。

お礼

ありがとうございます。