固有値・固有ベクトルの物理的意味

質問

初歩的質問です。行列に出てくる「固有値」「固有ベクトル」の物理的意味を分かりやすく教えてください。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

具体例を3つあげます。(4)は一般論です。

(1)直行行列
　xとyをベクトル，行列Ａを直交行列，y＝Ａxとします。この場合Ａの固有値は１（一般には±１）、固有ベクトルはＡが表す原点まわりの回転の回転軸となります。何故なら、#1さんの仰るように、固有ベクトルは変換Ａで動かないベクトルなので、回転の場合動かないのは、その回転軸です。また原点まわりの回転では、原点からの距離も不変なので、回転軸の倍率も１となります。

(2)振動方程式
　振幅の余り大きくない振動の微分方程式は、x"＝Ａxとなります。ここでx"は、ベクトルxの時間に関する2階微分です。Ａが対角形でないと解きにくいので、Ａを対角行列に変換します。Ａの固有ベクトルを並べた行列をＳとすると、相似変換、
　　y"＝Ｓ(-1)ＡＳy，x＝Ｓy　　(a)
が得られます。ここでＳ(-1)はＳの逆行列、yはy＝Ｓ(-1)xで定義されるベクトル，Ｓ(-1)ＡＳは固有値が対角成分に並んだ対角行列です。よって式(a)のyの各成分は、他成分と連成しない（連動しない）分離された単振動の微分方程式となり、固有値の√は、おおくの場合、この振動系の固有振動数と呼ばれます。
　この分解は、振動系x"＝Ａxのフーリエ分解とおおよそ等価です。固有振動数は位相スペクトルに対応し、yの各成分が振幅スペクトルに対応し、x＝Ｓyで得た解は、xのフーリエ分解とみなせます。

(3)構造の座屈方程式
　構造物の線形座屈現象は、「(Ａ－λＥ)x＝0がx≠0の解を持つ」というタイプの問題になります。ここでＥは単位行列，λはスカラーです。これはdet(Ａ－λＥ)＝0となるλとxを探すのと同じで、行列Ａの固有値問題そのものです。このときλは座屈荷重を表し、固有ベクトルxは座屈モードとなります。

　座屈荷重，座屈モードなどの用語はあえて説明しませんが、(1)～(3)より、「固有値・固有ベクトルの物理的意味」はケースバイケースです。そこで数学的な一般論を最後に付けます。

(4)一般論（ご存知でしたら、すいません）
　行列Ａは、ある線形写像fを表します。線形写像とは要するに、多次元に拡張された１次関数の事です。一つの線形写像fに対して、それを表す行列Ａは、じつは一つには定まりません。多次元（x-y-z-w-s-・・・軸で表せるもの）に入れる基底（座標軸）の方向によって、Ａは色々姿を変えます。ある基底から別の基底への変換行列をＳとした時、別の基底でＡは、Ｓ(-1)ＡＳという形になります。Ｓを特に固有ベクトルの方向に選ぶと、Ｓ(-1)ＡＳは対角形（準対角形）になります。これが、線形写像fの基本構造です（準同型定理と根空間への分解定理）。逆に、一つの対角（準対角）行列Ａに任意の正則行列Ｓで相似変換Ｓ(-1)ＡＳを行った結果の全体は、Ａに対応する線形写像fの表現行列全てです。従って「固有値と固有ベクトルが線形写像fの特徴づけを与える（fを定義してしまう）」ことになります。よって、固有値と固有ベクトルによって、その線形系の特徴を表せるので、(2)にように対角形に変換すると、急に問題の見通しが良くなります。ただし固有値と固有ベクトルの意味は、その見通しを得てから、物理的意味を考えるという順序が一般的と思えます。

お礼

大変な時間をかけましたが、いまだに完全には理解できていません。丁寧な説明をいただき、ありがとうございました。(1)直交座標での理解や(2)振動方程式を、行列を用いて、扱うように慣れ、物理的意味をイメージしたいと考えます。そのために、この種の例題に多く関わっていきたいです。(3)挫屈・・量子力学での意味は外したいと思います。

大変ありがとうございました。

回答No.2

noname#69788

量子力学では固有値はエネルギーをあらわします。

お礼

ありがとうございました。やはり、さまざまな振動の集合ということからこのような扱いになるのでしょうか？
この問題相当考えましたが理解の範囲を超えていました。

回答No.1

lick6

説明が載っているサイトを見つけましたのでリンクを貼っておきます。

参考URL：

http://www.gaia.h.kyoto-u.ac.jp/~sakai/gfd/appendix/gfd_6a.html

お礼

遅くなりましたが、ありがとうございました。理解の範囲を超えているようで、時間ばかりかけてしまいました。