固有ベクトルの求め方について

質問

数学の線形代数の問題で行き詰ってしまいました。
ご教授お願い致します。

3×3の行列
A=
|3 2 4|
|2 0 2|
|4 2 3|

の固有ベクトルを求める問題なのですが、
固有値は　λ＝-1,8　となました。

そこで、λ＝-1に属する固有ベクトルを求めようとしているのですが、
その固有ベクトルが

2x + y + 2z =0

という式から得られるようです。
ここまでは理解できるのですが、

ここからどのようにして２つの固有ベクトル
| 0 | 　　 | 1 |
| 2 | 　　 | 0 |
|-1 | 　　|-1 |

を求めているのか、分かりません。

分かりにくい表現で申し訳ありませんが、ご存知の方がおられましたら
よろしくお願い致します。

回答No.2

koko_u_ · ベストアンサー

>の２つの固有ベクトルの導出法自体がわかりません。
だから「テキトーに」取ってるだけだって。

3つの変数に対して式が 1個しかないんだから、x, y を好きに決めればよい。
多分「模範回答」では x = 0 とすると y + 2z = 0 だから、あとはイイ感じで整数の範囲で、y = 2, z = -1 とかしただけ。大した意味はない。

お礼

なるほど。適当にx=0　として　y + 2z = 0 という
式を導いたのですね。

ということは、後は y=0 か z=0　としてもう１つの固有ベクトルを
求めればよいと。

やっと問題を解くことができました。
ご丁寧に回答して頂き、ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

>ここからどのようにして２つの固有ベクトル
>を求めているのか、分かりません。
固有ベクトル空間が 2次元だったから、2x + y + 2z = 0 (平面だね)を満たす、独立した 2つのベクトルを「適当に」とっただけ、別にその 2つでなければならない理由はない。

お礼

素早いご回答、ありがとうございます。

>独立した 2つのベクトルを「適当に」とっただけ、別に
>その 2つでなければならない理由はない。

とのことですが、私が導出したいと思っている２つの固有ベクトルは
2x + y + 2z = 0　
を満たす無限個あるの候補のひとつ、という事でしょうか。

しかし、今回求めたい

| 0 | 　　 | 1 |
| 2 | 　　 | 0 |
|-1 | 　　|-1 |

の２つの固有ベクトルの導出法自体がわかりません。
よろしければ、ご回答お願いします。