3次曲線の束縛条件のとき、2次式の最小値
x,y は実数で,x^3+6xy+8y^3=1 のとき,x^2+y^2+2y の最小値と,そのときの x,y の値を求めよ.
(アイデア1)
x^3+6xy+8y^3=1をパラメータ表示しようと思ったのですが・・・。
(アイデア2)
x^3+6xy+8y^3=1 図示し、x^2+y^2+2y=kと置き、x^2+(y+1)^2=k+1と共有点を持つ条件を幾何学的に考えようと思ったのですが・・・。
(アイデア3)
x^3+6xy+8y^3=1 と x^2+y^2+2y=k からxもしくはyを消去し、解を持つための条件を代数的に考えようと思ったのですが・・・。
(アイデア4)
ラグランジュの未定乗数法で、
f(x,y,λ)=x^2+y^2+2y+λ(x^3+6xy+8y^3-1)
とおき、
∂f/∂x=2x+λ(3x^2+6y)=0,
∂f/∂y=2y+2+λ(6xy+24y^2)=0
∂f/∂λ=x^3+6xy+8y^3-1=0
を連立して解こうと思ったのですが・・・。
いずれも計算がストップしてしまいました。
計算の続きができるでしょうか?
別のアイデアはあるのでしょうか?
一般の3次曲線の束縛条件が与えられたとき、一般の2次式の最小値(最大値)を与える明示式はあるのでしょうか?