3次曲線の束縛条件のとき、2次式の最小値

質問

x,y は実数で，x^3+6xy+8y^3=1 のとき，x^2+y^2+2y の最小値と，そのときの x,y の値を求めよ．

(アイデア1)
x^3+6xy+8y^3=1をパラメータ表示しようと思ったのですが・・・。

(アイデア2)
x^3+6xy+8y^3=1 図示し、x^2+y^2+2y=kと置き、x^2+(y+1)^2=k+1と共有点を持つ条件を幾何学的に考えようと思ったのですが・・・。

(アイデア3)
x^3+6xy+8y^3=1 と x^2+y^2+2y=k からxもしくはyを消去し、解を持つための条件を代数的に考えようと思ったのですが・・・。

(アイデア4)
ラグランジュの未定乗数法で、
f(x,y,λ)=x^2+y^2+2y+λ(x^3+6xy+8y^3-1)
とおき、
∂f/∂x=2x+λ(3x^2+6y)=0,
∂f/∂y=2y+2+λ(6xy+24y^2)=0
∂f/∂λ=x^3+6xy+8y^3-1=0
を連立して解こうと思ったのですが・・・。

いずれも計算がストップしてしまいました。
計算の続きができるでしょうか?
別のアイデアはあるのでしょうか？
一般の3次曲線の束縛条件が与えられたとき、一般の2次式の最小値(最大値)を与える明示式はあるのでしょうか？

回答No.4

hrsmmhr · ベストアンサー

(x+2y)^3-3(x+2y-1)x(2y)=1
x+2y=s, 2xy=t
s^3-3(s-1)t=1
t=(s^3-1)/3(s-1)
t=1/3(s^2+s+1)
u^2-su+t=0の解は
u=1/2{s±√(s^2-4/3(s^2+s+1))}
=1/2{s±√1/3(-s^2-4s-4)
=1/2{s±(s+2)√1/3i}
s=-2のときのみ実解でこのときu=ー1=x=2yでx=-1,y=-1/2
よってx^2+y^2+2y=1/4

これでどうでしょうか？

お礼

ありがとうございます。
一般的な解法というより、どうしても上手な式変形がいる気がします。

回答No.5

hrsmmhr

追加ですがs=1はtの計算で割ってしまったので
別に確認する必要があります
このときx=1-2yなので
(1-2y)^3+6(1-2y)y+8(1-2y)^3=1
(1-2y)(1-4y+4y^2+6y)=1
1-8y^3=1でy=0です
(x、y)=(1,0)のときx^2+y^2+2y=1ですが
これは先のより大きいので最小値ではありません

お礼

ありがとうございます。
おっしゃるように場合わけがいりそうですね。

回答No.3

hrsmmhr

x=kcost, y=k(sint-1)として
k^3cos^3t+6k^2cost(sint-1)+8k^3(sint-1)^3=1
(cos^3t+8(sint-1)^3)k^3+6k^2cost(sint-1)-1=0
s=1/kとして
s^3-6scost(sint-1)+cos^3t+8(sint-1)^3=0
カルダノの公式で解が出てその根をtで微分する

この方法はこれ以上は計算する気が起きないです
できないですかね？

お礼

ありがとうございます。
なかなかうまくいきにくそうです。

回答No.2

hrsmmhr

すみません。
x=1のときです

お礼

最小値は1/4 (x=-1, y=-1/2)です。

回答No.1

hrsmmhr

最近回答間違えてばかりなので違うかもしれませんが
まず6xyをけします
2x^3+3xy^2-8y^3=3kx-1
k=(1-2x^3-3xy^2+8y^3)/3x
dk/dy=(-6xy+24y^2)/3x
dk^2/dxdy=-8y^2/x^2
結果はx=0,2, y=0の時でx^2+y^2+2y=1
一応微分が０以下なので最小値かと思います

お礼

最小値は1/4 (x=-1, y=-1/2)です。