２次関数

質問

x^2+2xy+4y^2=9
↓
(x-2y)^2+6xy=9

12y^2+6ty+t^2-9=0
↓
xy=1/6(9-t^2)
上記の変形の途中式が知りたいのです！
参考書は、x^2+2xy+4y^2=9⇔(x-2y)^2+6xy=9と、このように、書いてあり、どう変形したのかが全く分からないのです！

回答No.5

ferien · ベストアンサー

x^2+2xy+4y^2=9
↓
(x-2y)^2+6xy=9

12y^2+6ty+t^2-9=0
↓
xy=1/6(9-t^2)
＞上記の変形の途中式が知りたいのです！

(x-2y)^2＝ｘ^2－４ｘｙ＋４ｙ^2なので、この式変形するために、

x^2+2xy+4y^2=9
（ｘ^2－４ｘｙ＋４ｙ^2）＋６ｘｙ＝９　（－４ｘｙ＋６ｘｙ＝２ｘｙだから）
(x-2y)^2+6xy=9
ｔ＝ｘ－２ｙとおくと、ｘ＝２ｙ＋ｔ　これをもとの式に代入すると
ｔ^2＋６（２ｙ＋ｔ）ｙ－９＝０
12y^2+6ty+t^2-9=0
１２ｙ^2＋６ｔｙ＝９－ｔ^2
６ｙ（２ｙ＋ｔ）＝９－ｔ^2
６ｘｙ＝９－ｔ^2
xy=1/6(9-t^2)

でどうでしょうか？

お礼

やっと理解できました。有り難う御座いました！

回答No.4

edomin7777

2xy=6xy-4xy

x^2+2xy+4y^2=9
x^2+6xy-4xy+4y^2=9
x^2-4xy+4y^2+6xy=9
(x-2y)^2+6xy=9

要は、「６ひく４は２」っていうことだ。

お礼

分かりやすかったです！有り難う御座いました

補足

x^2+2xy+4y^2=9⇔(x-2y)^2+6xy=9は、理解できました。
2次関数の最大・最小の問題は、元の式を崩さなければ色々と変えて良いのですね！

あと、もう一つの疑問があります。

★問題★
実数x,yが,条件x^2+2xy+4y^2=9を満たすとき,次の問いに答えよ。
(1)x-2yのとり得る値の範囲を求めよ。
解答:-6≦t≦6と分かっています。

(2)z=(x+2y)^2+2(x-2y)の最大値と最小値を求めよ。

で、解答頂いた(x-2y)^2+6xy=9と、もう一つxy=(1/6)(9-t^2)の式を求める必要が有るのですが、こちらも、どう導いたのか詳しく教えて頂けないでしょうか。

回答No.3

noname#157574

これは 2 次関数ではなくて楕円と呼ばれる二次曲線ですな。

補足

詳しくは分かりませんが、『２次関数の最大,最小・・・置き換え』と書いてあります！

★問題★
実数x,yが,条件x^2+2xy+4y^2=9を満たすとき,次の問いに答えよ。
(1)x-2yのとり得る値の範囲を求めよ。
解答:-6≦t≦6と分かっています。

(2)z=(x+2y)^2+2(x-2y)の最大値と最小値を求めよ。

で、(x-2y)^2+6xy=9の求め方は分かりました。
次にxy=(1/6)(9-t^2)の式を求める必要が有るのですが、どう求めたのでしょうか？詳しい細かい途中式で教えて頂けないでしょうか。

回答No.2

mister_moonlight

＞(x^2-4xy+4y＾2)＋6xyは、どう出たのですか？

参考書の解説をしただけだよ。

＞12y^2+6ty+t^2-9=0　↓　xy=1/6(9-t^2)こちらも詳しく教えて下さい。

滅茶苦茶な事書いてるな。tって何だよ。
12y^2+6ty+t^2-9=0　←　これがどうして　xy=1/6(9-t^2)になるの。
自分で何書いてるか　分かってるのか。

補足

★問題★
実数x,yが,条件x^2+2xy+4y^2=9を満たすとき,次の問いに答えよ。
(1)x-2yのとり得る値の範囲を求めよ。
解答:-6≦t≦6と分かっています。

(2)z=(x+2y)^2+2(x-2y)の最大値と最小値を求めよ。

で、(x-2y)^2+6xy=9の求め方は分かりました。
次にxy=(1/6)(9-t^2)の式を求める必要が有るのですが、どう求めたのでしょうか？詳しい細かい途中式で教えて頂けないでしょうか。

回答No.1

mister_moonlight

＞参考書は、x^2+2xy+4y^2=9⇔(x-2y)^2+6xy=9と、このように、書いてあり、どう変形したのかが全く分からないのです！

x^2+2xy+4y^2=(x^2-4xy+4y＾2)＋6xy＝(x-2y)^2+6xy

補足

もう少し詳しく教えて下さい。
(x^2-4xy+4y＾2)＋6xyは、どう出たのですか？
あと、
12y^2+6ty+t^2-9=0
↓
xy=1/6(9-t^2)
こちらも詳しく教えて下さい。