sinxの無限積展開

質問

sinπx=πxΠ(1-x^2/m^2) の公式がどのようにして導出されるのか、疑問をもっています。

手元に解析概論(高木著)などがあり、Γ関数やWeiestrassの定理と関連があることぐらいはわかりましたが、具体的にどようにして導かれるのかがよくわかりません。

この公式の導出の仕方か、または、これらのことが詳しく書かれた専門書やページ数などがわかればお教え頂けないでしょうか？

※Πはm=1,...,∞の積を表すものとする。

回答No.1

noname#199771 · ベストアンサー

Wikipediaに略証があります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E4%B9%97%E7%A9%8D%E5%B1%95%E9%96%8B

関数論の本には大抵載っています。

お礼

関数論の本に載っているとは、、、
盲点でした。
有り難うございました！！

回答No.3

hugen

sinx=x-1/3!*x^3+・・・=x(1-1/3!*x^2+・・・)
また、
sinx=0　　を　解くと、　x=0,±π,±2π,・・・
そこで、
sinx=C x(x±π)(x±2π)=x{C(±π)(±2π)+・・・}　　　と　近似すると
C(±π)(±2π)=1　
C=1/(±π)(±2π)、よって
sinx=1/(±π)(±2π)* x(x±π)(x±2π)=x(1+x/π)((1-x/π)(1+x/2π)(1-x/2π)

お礼

概略がなんとなくわかりました。
ありがとうございます。

回答No.2

hugen

http://ja.wikisource.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%A6%82%E8%AB%96/%E7%AC%AC5%E7%AB%A0/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0_%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0

解析概論/第5章/指数函数 三角函数
(3°) cotz を　部分分数に分割すること

お礼

大変参考になりました。
また、いろいろと思考していたため、返事が遅くなり失礼いたしました。
有り難うございました。