フーリエ の定理 導出の疑問

質問

フーリエの定理の導出を教わったのですが、
途中わからない部分があるので教えて下さい。

その点とは、

∫dx・sin(2x)・sin(2x)がπになるという点と、

端数の違うもの同士は０になる↓というものです。
∫dx・sin(2x)・sin(3x)　が０になる。

ここの部分、良ければ展開していって、どうして最終的にこのような
値になるか教えていただけませんか？

回答No.2

inara · ベストアンサー

>∫dx・sin(2x)・sin(3x)　は最初部分積分するんですよね？
違います。sinの積（sin×sin）を cos の和に直すのです。

【sin の積を cos の和に変換する方法】
三角関数の和の公式
　　cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b) --- (1)
はご存知ですね。上の b を -b におき換えると、sin(-b) = -sin(b)、cos(-b) = cos(b) ですから
　　cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b) --- (2)
となります。式(2)－(1)を計算すれば
　　cos(a-b) - cos(a+b) = 2*sin(a)*sin(b)
したがって、
　　sin(a)*sin(b) = { cos(a-b) - cos(a+b) }/2 --- (3)
となって、積を和に変換することができます。和の積分は簡単ですね。

【sin(mx)・sin(nx)の積分】
問題を一般化して sin(mx)・sin(nx) の積分をやってみましょう。
m も n も1,2, ... とします。m = n = 2 が最初の問題、m = 2, n = 3 が次の問題です。
式(3)の a を mx に、b を nx と書き換えれば
　　sin(mx)・sin(nx) = { cos(mx-nx) - cos(mx+nx) }/2 = [ cos{(m-n)*x} - cos{(m+n)*x} ]/2 --- (4)
ですから、この積分は簡単ですね。しかしちょっと待ってください。m = n の場合と、m<>n の場合で結果が違うのです。

（１）　m = n の場合
式(4)で m = n = k とおけば
　　sin(kx)・sin(kx) = [ cos{(k-k)*x} - cos{(k+k)*x} ]/2 = { 1 - cos(2*k*x) }/2
したがって
　　∫[x=-π～π] sin(kx)・sin(kx) dx
　　　= ∫[x=-π～π] { 1 - cos(2*k*x) }/2 dx
　　　= [ { x - sin(2*k*x)/(2*k) }/2 ]_[x=-π～π]
　　　= [ 2*{ π - (-π) } - { sin(2*k*π) - sin(-2*k*π) }/(2*k) ]/2
　　　= π - sin(2*k*π)/(2*k)
ここで、k は自然数なので、sin(2*k*π) = sin(π）、sin(2*π）、sin(3*π）、... = 0。したがって、
　　∫[x=-π～π] sin(mx)・sin(mx) dx = π　　（ m = n のとき）
質問文には書かれていませんが、積分範囲は-π～πのはずです。

（２）　m <> n の場合
式(4)をそのまま積分すれば
　　∫[x=-π～π] sin(kx)・sin(kx) dx
　　　= ∫[x=-π～π][ cos{(m-n)*x} - cos{(m+n)*x} ]/2 dx
　　　= [ sin{(m-n)*x}/{2*(m-n)} - sin{(m+n)*x}/{2*(m+n)} ]_[x=-π～π]
　　　= [ sin{(m-n)*π} - sin{-(m-n)*π} ]/{2*(m-n)} - [ sin{(m+n)*π} - sin{-(m+n)*π} ]/{2*(m+n)}
　　　= sin{(m-n)*π}/(m-n) - sin{(m+n)*π}/(m+n)
となります（m-n が分母に出てくるので、m<>n という条件が必要なのです。m+n<>0 なので、こっちは心配ありません）。

ここで、sin{(m-n)*π} と sin{(m+n)*π}/(m+n) はゼロですから、
　　sin{(m-n)*π}/(m-n) - sin{(m+n)*π}/(m+n) = 0
したがって
　　∫[x=-π～π] sin(mx)・sin(mx) dx = 0　　( m<>n のとき）

【まとめ】
以上の結果をまとめると
m = n のとき　　∫[x=-π～π] sin(mx)・sin(mx) dx = π　
m <> n のとき　 ∫[x=-π～π] sin(mx)・sin(mx) dx = 0

最初の問題は m = n = 2 の場合ですから、積分 = π
次の問題は m = 2, n = 3 の場合ですから、積分 = 0

お礼

とても丁寧に説明してくださりありがとうございます。
おかげで理解することができました。

回答No.1

rabbit_cat

三角関数の積和の公式を使えば、簡単に積分できます。

補足

すみません。その簡単な積分でつまずいてしまってます。

たとえば、
∫dx・sin(2x)・sin(3x)　は最初部分積分するんですよね？
そうすると、部分積分の終わりまではできるのですが、
そこで、教えて貰った三角関数の和積の公式を使おうと
思ったのですが、うまくいかなくて・・・